bac blanc du 15 mai 2017

Corrigé de l'exercice 4

partie a : étude d'une fonction

Soit f la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=3-{\displaystyle \frac{x}{4}}-4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}$.

1. 1. Justifier que $f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}-\mathrm{0,25}$ où $f\prime$ est la fonction dérivée de la fonction f.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ on a : $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& -{\displaystyle \frac{1}{4}}-4\times \left(-\mathrm{0,25}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}\right)\\ & =& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}-\mathrm{0,25}\end{array}$$

      La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}-\mathrm{0,25}$.

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   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ :$$\begin{array}{rcl}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}-\mathrm{0,25}⩽0& \iff & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}⩽\mathrm{0,25}\\ & \iff & -\mathrm{0,25}x⩽\ln \left(\mathrm{0,25}\right)\\ & \iff & x⩾-4\ln \left(\mathrm{0,25}\right)\\ & \iff & x⩾4\ln 4\end{array}$$

      Nous pouvons en déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ :

      x	0		$4\ln 4$		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

2. Établir le tableau de variation de f sur $\left[0;+\infty \right[$.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

   x	0		$4\ln 4$		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$	$-1$		$2-\ln 4$

   Calcul du maximum de la fonction :$$f\left(4\ln 4\right)=3-\ln 4-4\times {\mathrm{e}}^{-\ln 4}=3-\ln 4-1=2-\ln 4$$

partie b : calcul intégral

On note $I={\displaystyle {\int }_2^{10}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

1. 1. g et G sont les fonctions définies sur $\left[0;+\infty \right[$ respectivement par $g\left(x\right)=-4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}$ et $G\left(x\right)=16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}$. Montrer que G est une primitive de g sur $\left[0;+\infty \right[$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ posons $u\left(x\right)=-\mathrm{0,25}x$ d'où $u\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,25}$.

      Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ on a :$$g\left(x\right)={\displaystyle \frac{4}{\mathrm{0,25}}}\times \left(-\mathrm{0,25}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}\right)=16\times \left(-\mathrm{0,25}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}\right)$$

      On en déduit qu'une primitive de la fonction g est la fonction G définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $G\left(x\right)=16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}$.

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   2. Montrer que $I=12+16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}-16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}$.

      f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=3-{\displaystyle \frac{x}{4}}-4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}$.

      Par conséquent, une primitive de la fonction f est la fonction F définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=3x-{\displaystyle \frac{x^2}{8}}+16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}$. Donc :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_2^{10}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(10\right)-F\left(2\right)\\ & =& \left(30-{\displaystyle \frac{100}{8}}+16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}\right)-\left(6-{\displaystyle \frac{4}{8}}+16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{35}{2}}+16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}-{\displaystyle \frac{11}{2}}-16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}\\ & =& 12+16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}-16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}\end{array}$$

      Ainsi, $I={\displaystyle {\int }_2^{10}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=12+16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}-16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}$.

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partie c : application économique

La capacité de production d'un certain article d'une entreprise est limitée à 1200 articles par jour.
Le coût total, en milliers d'euros, pour la production x centaines d'articles $\left(0⩽x⩽12\right)$ est modélisé par $C\left(x\right)=x+4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}-3$.
La courbe représentative de la fonction coût total est donnée en annexe ci-dessous.
Chaque article est vendu 7,50 euros. La recette, en milliers d'euros, pour x centaines d'articles vendus est donc donnée par $R\left(x\right)=\mathrm{0,75}x$.
On suppose que tous les articles fabriqués sont vendus.

1. 1. Tracer la droite D d'équation $y=\mathrm{0,75}x$ sur le graphique donné en annexe.

      La droite D passe par l'origine du repère et par le point de coordonnées $\left(10;\mathrm{7,5}\right)$

   2. Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, pour quelles quantités produites et vendues, l'entreprise réalise un bénéfice.

      L'entreprise réalise un bénéfice quand la recette est supérieure aux coûts.

      Avec la précision permise par le graphique, l'entreprise réalise un bénéfice quand elle vend entre 180 et 1100 articles.

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2. 1. Justifier que le bénéfice, en milliers d'euros, réalisé par l'entreprise pour x centaines d'articles vendus, est donné sur l'intervalle $\left[0;12\right]$ par $f\left(x\right)$ où f est la fonction définie à la partie A.

      Le bénéfice, en milliers d'euros, réalisé par l'entreprise pour x centaines d'articles vendus, est donné par : $$\begin{array}{rcl}B\left(x\right)& =& R\left(x\right)-C\left(x\right)\\ & =& \mathrm{0,75}x-x-4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}+3\\ & =& -\mathrm{0,25}x-4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}+3\end{array}$$

      Le bénéfice, en milliers d'euros, réalisé par l'entreprise pour x centaines d'articles vendus, est donné sur l'intervalle $\left[0;12\right]$ par $f\left(x\right)=3-{\displaystyle \frac{x}{4}}-4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}$.

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   2. Cette entreprise peut-elle réaliser un bénéfice quotidien de 620 euros ?

      Le maximum de la fonction f est égal à $2-\ln 4\approx \mathrm{0,6137}$, ce qui correspond à un bénéfice maximum de 614 euros.

      L'entreprise ne peut pas avoir un bénéfice quotidien de 620 euros.

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3. Pendant l'année, le nombre d'articles commercialisés par l'entreprise a varié entre 200 et 1000 articles par jour.
   Déterminer la valeur moyenne du bénéfice réalisé par l'entreprise par jour. (On donnera le résultat arrondi à l'euro près).

   La valeur moyenne $m$ de la fonction f sur l'intervalle $\left[2;10\right]$ est :$$\begin{array}{ccc}m={\displaystyle \frac{1}{10-2}}\times {\displaystyle {\int }_2^{10}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& \text{soit}& m={\displaystyle \frac{12+16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}-16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}}{8}}=\mathrm{1,5}+2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}-2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}\approx \mathrm{0,451}\end{array}$$

   La valeur moyenne du bénéfice réalisé par l'entreprise est de 451 euros par jour.

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