contrôles en terminale ES

bac blanc du 15 mai 2017

thèmes abordés

QCM : Fonction logarithme.
Probabilités, loi normale.
Suites.
Graphe probabiliste.
Fonction exponentielle, calcul intégral.

exercice 1 : commun à tous les Élèves

D'après sujet bac Asie 2012

Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $[0; + \infty [$ . On note $C_{f}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
Le tableau de variation de la dérivée $f'$ de la fonction f est :
x 0 e $e^{2}$ $+ \infty$
$f' (x)$
$- 1$
$\ln 2$
1
On peut affirmer que la courbe représentative de la fonction f admet :
une tangente horizontale au point d'abscisse 0
une tangente horizontale au point d'abscisse $e^{2}$
un point d'inflexion d'abscisse e
un point d'inflexion d'abscisse $e^{2}$
La fonction dérivée de la fonction f définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = x^{2} (\ln x + 3)$ est la fonction $f'$ définie sur $] 0; + \infty [$ par :
$f' (x) = 2 x \ln x + 7$
$f' (x) = 2 x \ln x + 5 x$
$f' (x) = x (2 \ln x + 7)$
$f' (x) = 2 x \times \frac{1}{x}$
L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln x - 1 ⩽ 0$ est :
$] - \infty; 1]$
$] - \infty; e]$
$] 0; e]$
$] 0; + \infty [$
On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $[0; + \infty [$ .
La fonction F est une de ses primitives sur cet intervalle et la courbe représentative de la fonction F est tracée dans le repère ci-dessous :
L'intégrale $\int_{2}^{3} f (x) d x$ est égale à :
$\frac{\ln 3}{3}$
$\ln 3$
$- \ln 3$
$3 \ln 3$

exercice 2 : commun à tous les Élèves

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

partie a

Pour contacter une compagnie d'assurance, deux possibilités sont offertes :

se rendre en agence ;
à distance par téléphone.

Le responsable du pôle « satisfaction client » décide de réaliser une enquête afin de savoir si les clients qui se rendent à l'agence ou qui contactent la compagnie par téléphone sont satisfaits de l'accueil.

À l'issue de l'enquête, réalisée auprès de 1000 clients, les résultats sont les suivants :

380 se sont rendus en agence ;
parmi les clients qui se sont rendus en agence, 95 % se sont déclarés satisfaits de l'accueil ;
parmi les clients qui ont téléphoné, 15 % ont déclaré qu'ils n'étaient pas satisfaits de l'accueil.

On interroge au hasard un client. On considère les évènements suivants :

A « Le client s'est rendu en agence » ;
S « Le client est satisfait de l'accueil ».

On rappelle que l'évènement contraire de A se note $\bar{A}$ , que la probabilité de l'évènement A se note $P (A)$ et que la probabilité de l'évènement A sachant que l'évènement B est réalisé se note $P_{B} (A)$ .

Dans toute cette partie, les probabilités seront arrondies à $10^{- 3}$ , si nécessaire.

Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :
Calculer la probabilité que le client se soit rendu en agence et qu'il ait été satisfait de l'accueil.
Montrer que la probabilité de S est 0,888.
Sachant que le client a été satisfait, quelle est la probabilité qu'il se soit rendu en agence ?

partie b

La compagnie d'assurances s'intéresse aux coûts des sinistres susceptibles de survenir en 2016 sur les véhicules qu'elle assure. On note X la variable aléatoire qui â chaque sinistre associe son coût en euros.
L'étude des années précédentes permet de supposer que X suit la loi normale d'espérance 1200 et d'écart-type 200.

La compagnie estime que pour l'année 2016, elle devra faire face à 10000 sinistres. À combien peut-elle estimer le coût de l'ensemble de ces sinistres ?
Sans utiliser la calculatrice, expliquer pourquoi on peut estimer qu'environ 95 % des sinistres auront un coût compris entre 800 et 1600 euros.
Calculer $P (X > 1000)$ . Donner le résultat arrondi à $10^{- 2}$ .
À l'aide de la calculatrice, estimer la valeur du nombre réel a, arrondi à l'unité, vérifiant $P (X ⩾ a) = 0,04$ .
Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l'exercice.

exercice 3 : Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

D'après sujet bac Antilles Guyane septembre 2013

En 2012, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que :

10% des participants ne renouvelaient pas leur adhésion au club ;
20 nouvelles personnes s'inscrivaient au club.

On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans.

partie a

On donne l'algorithme suivant :

Entrée	Saisir n entier positif
Traitement :	X prend la valeur 80 {initialisation}
	Pour i allant de 1 à n Affecter à X la valeur $0,9 X + 20$ Fin Pour X prend la valeur de X arrondie à l'entier inférieur
Sortie	Afficher X

Pour la valeur $n = 2$ saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme ?
Interpréter dans le contexte du club de randonnée, pour la valeur $n = 2$ saisie, le nombre affiché à la sortie de cet algorithme.

partie b

On considère la suite $(a_{n})$ définie par $a_{0} = 80$ et, pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,9 a_{n} + 20$ . Pour tout entier naturel n, on pose : $b_{n} = a_{n} - 200$ .
1. Démontrer que $(b_{n})$ est une suite géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
2. Exprimer $b_{n}$ en fonction de n.
En résolvant une inéquation, déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnés devient supérieur à 140.
En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : $a_{n} = 200 - 120 \times {0,9}^{n}$ .
Quelle est la limite de la suite $(a_{n})$ ?

partie c

L'objectif du président du club est d'atteindre au moins 180 adhérents. Cet objectif est-il réalisable ?
Même question si l'objectif du président du club est d'atteindre au moins 300 adhérents.

exercice 3 : Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a

Une étude réalisée sur la réservation par internet des places d'une salle de spectacle a permis de constater qu'une place disponible le jour d'ouverture de la réservation, voit son état évoluer chaque jour jusqu'à la fermeture de la réservation de la manière suivante :

si une place est réservée le jour n, elle le sera encore le jour suivant avec une probabilité égale à 0,9 ;
si une place est disponible le jour n, elle sera réservée le jour suivant avec une probabilité égale à 0,4.

Pour n entier naturel, on note $d_{n}$ la probabilité qu'une place soit disponible le jour n et $r_{n}$ la probabilité qu'une place soit réservée le jour n.
On note :

D l'état « la place est disponible » ;
R l'état « la place est réservée ».

On note $P_{n} = (\begin{matrix} d_{n} & b_{n} \end{matrix})$ l'état probabiliste le jour n.
Le jour de l'ouverture des réservations par internet, toutes les places sont libres, l'état probabiliste initial est donc $P_{0} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix})$ .

Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets D et R.
1. Donner la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
2. Calculer la probabilité qu'une place soit réservée quatre jours après l'ouverture des réservations sur internet.
On note $P = (\begin{matrix} d & r \end{matrix})$ l'état stable associé à ce graphe. Déterminer l'état stable et interpréter ce résultat.
Montrer que pour tout entier naturel n on a : $d_{n + 1} = 0,5 d_{n} + 0,1$ .
Pour tout nombre entier naturel n, on définit la suite $(u_{n})$ par $u_{n} = d_{n} - 0,2$ .
1. Montrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a : $d_{n} = 0,8 \times {0,5}^{n} + 0,2$ .
La direction de la salle de spectacle décide de clôturer la réservation par internet dès que la proportion des places disponibles est inférieure à 21 %.
En résolvant une inéquation, déterminer au bout de combien de jours, la fermeture des réservations par internet aura lieu.

partie b

Vingt minutes avant le début du spectacle, les places réservées par internet deviennent disponibles et sont mises en vente.
Le graphe ci-dessous modélise les itinéraires entre le point de départ D d'une personne ayant réservée une place par internet et, qui se rend à la salle de spectacle A.
Les arêtes sont pondérées par les temps moyens de parcours, en minutes, en tenant compte des difficultés de la circulation.

En partant une heure avant le début du spectacle, cette personne arrivera-elle avant que sa réservation ne soit annulée ?

exercice 4 : commun à tous les Élèves

partie a : étude d'une fonction

Soit f la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $[0; + \infty [$ par $f (x) = 3 - \frac{x}{4} - 4 e^{- 0,25 x}$ .

1. Justifier que $f' (x) = e^{- 0,25 x} - 0,25$ où $f'$ est la fonction dérivée de la fonction f.
2. Étudier le signe de $f' (x)$ sur l'intervalle $[0; + \infty [$ .
Établir le tableau de variation de f sur $[0; + \infty [$ .

partie b : calcul intégral

On note $I = \int_{2}^{10} f (x) d x$ .

1. g et G sont les fonctions définies sur $[0; + \infty [$ respectivement par $g (x) = - 4 e^{- 0,25 x}$ et $G (x) = 16 e^{- 0,25 x}$ .
  Montrer que G est une primitive de g sur $[0; + \infty [$ .
2. Montrer que $I = 12 + 16 e^{- 2,5} - 16 e^{- 0,5}$ .

partie c : application économique

La capacité de production d'un certain article d'une entreprise est limitée à 1200 articles par jour.
Le coût total, en milliers d'euros, pour la production x centaines d'articles $(0 ⩽ x ⩽ 12)$ est modélisé par $C (x) = x + 4 e^{- 0,25 x} - 3$ .
La courbe représentative de la fonction coût total est donnée en annexe ci-dessous.

Chaque article est vendu 7,50 euros. La recette, en milliers d'euros, pour x centaines d'articles vendus est donc donnée par $R (x) = 0,75 x$ .
On suppose que tous les articles fabriqués sont vendus.

1. Tracer la droite D d'équation $y = 0,75 x$ sur le graphique donné en annexe.
2. Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, pour quelles quantités produites et vendues, l'entreprise réalise un bénéfice.
1. Justifier que le bénéfice, en milliers d'euros, réalisé par l'entreprise pour x centaines d'articles vendus, est donné sur l'intervalle $[0; 12]$ par $f (x)$ où f est la fonction définie à la partie A.
2. Cette entreprise peut-elle réaliser un bénéfice quotidien de 620 euros ?
Pendant l'année, le nombre d'articles commercialisés par l'entreprise a varié entre 200 et 1000 articles par jour.
Déterminer la valeur moyenne du bénéfice réalisé par l'entreprise par jour. (On donnera le résultat arrondi à l'euro près).

annexe

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x	0	e	$e^{2}$		$+ \infty$
$f' (x)$	$- 1$		$\ln 2$		1