Calcul intégral

II - Primitives d'une fonction continue

1 - Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Une primitive de la fonction f sur I est une fonction F dérivable sur I et telle que pour tout réel x de I, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

exemple

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=5-3x$.

Les fonctions F et G définies sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+5x$ et $G\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+5x-2\sqrt{3}$ sont des primitives de la fonction f sur $ℝ$.
De façon générale, toute fonction G définie sur $ℝ$ par $G\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+5x+c$ , où c est un réel, est une primitive de f sur $ℝ$.

2 - Ensemble des primitives d'une fonction

propriété    (admise)

Toute fonction f continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

théorème

Si F est une primitive de la fonction f sur un intervalle I, alors les primitives de la fonction f sur I sont les fonctions G définies pour tout réel x de I par $G\left(x\right)=F\left(x\right)+k$ où k est un réel.

démonstration

• Soient F une primitive de la fonction f sur I et k est un réel.
  Si pour tout réel x de I, G est la fonction définie par $G\left(x\right)=F\left(x\right)+k$, alors $G\prime \left(x\right)=F\prime \left(x\right)+0=f\left(x\right)$ donc G est aussi une primitive de f sur I.
• Soient G et F deux primitives de f sur I.
  On considère la fonction H définie sur I par $H\left(x\right)=G\left(x\right)-F\left(x\right)$, alors H est dérivable sur I et $$H\prime \left(x\right)=G\prime \left(x\right)-G\prime \left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(x\right)=0$$ La dérivée $H\prime$ est la fonction nulle sur I ce qui signifie que H est une fonction constante sur I.
  Ainsi, pour tout réel x de I, $H\left(x\right)=k$ où k est un réel. Soit $G\left(x\right)-F\left(x\right)=k$ donc $G\left(x\right)=F\left(x\right)+k$.

interprétation graphique

Si on connaît la courbe 𝒞 représentative d'une primitive de f sur I, alors les courbes de l'ensemble des primitives de f sur I se déduisent de 𝒞 par une translation de vecteur $k\overrightarrow{ȷ}$ où k est un réel.

Un point $M\left(x_0;y_0\right)$ étant donné, il n'existe qu'une seule courbe ${𝒞}_F$ de la famille de courbes passant par ce point.

3 - Primitive vérifiant une condition

Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I. Soit $x_0$ un réel de l'intervalle I et $y_0$ un réel quelconque.
Il existe une unique primitive F de la fonction f sur I telle que $F\left(x_0\right)=y_0$.

démonstration

Si G est une primitive de f sur I, alors toute primitive F de f sur I est définie par $F\left(x\right)=G\left(x\right)+k$ avec k réel.

La condition $F\left(x_0\right)=y_0$ s'écrit $G\left(x_0\right)+k=y_0$ d'où $k=y_0-G\left(x_0\right)$.

Il existe donc une seule primitive F de f sur I telle que $F\left(x_0\right)=y_0$, définie par $F\left(x\right)=G\left(x\right)+y_0-G\left(x_0\right)$.

III - Calcul de primitives

1 - Primitives des fonctions usuelles

f est définie sur I par …	Une primitive F est donnée par …	Validité
$f\left(x\right)=a$ avec $a\in ℝ$	$F\left(x\right)=ax$	sur $ℝ$
$f\left(x\right)=x$	$F\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$	sur $ℝ$
$f\left(x\right)=x^n$  (n entier naturel)	$F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}}$	sur $ℝ$
$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$	$F\left(x\right)=\ln \left(x\right)$	sur $\left]0;+\infty \right[$
$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x^n}}$  (n entier naturel et $n>1$)	$F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{\left(n-1\right)x^{n-1}}}$	sur $\left]-\infty ;0\right[$ ou sur $\left]0;+\infty \right[$
$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$	$F\left(x\right)=2\sqrt{x}$	sur $\left]0;+\infty \right[$
$f\left(x\right)={\mathrm{e}}^x$	$F\left(x\right)={\mathrm{e}}^x$	sur $ℝ$

2 - Linéarité

démonstration

Soit α un réel. Si F et G sont des primitives respectives des fonctions f et g sur I, alors les fonctions $F+G$ et $\alpha F$ sont dérivables sur I :

• $\left(F+G\right)\prime =F\prime +G\prime =f+g$ donc $F+G$ est une primitive de $f+g$ sur I ;
• $\left(\alpha F\right)\prime =\alpha F\prime =\alpha f$ donc $\alpha F$ est une primitive de $\alpha f$ sur I.

exemple

Soit f la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x^2-{\displaystyle \frac{3}{x}}$.

• La fonction u définie par $u\left(x\right)=x^2$ admet comme primitive la fonction U définie par $U\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}$.
• Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ la fonction $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ admet pour primitive la fonction $x\mapsto \ln \left(x\right)$. Donc sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ la fonction v définie par $v\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{x}}$ admet comme primitive la fonction V définie par $V\left(x\right)=-3\ln \left(x\right)$.

Donc la fonction $f=u+v$ admet comme primitive la fonction $F=U+V$ définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-3\ln \left(x\right)$.

3 - Primitives des formes usuelles

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et $u\prime$ sa dérivée.

Fonction f …	Une primitive F est donnée par …
$f=u\prime u$	$F={\displaystyle \frac{1}{2}}{u}^2$
$f=u\prime u^n$  (n entier naturel non nul)	$F={\displaystyle \frac{u^{n+1}}{n+1}}$
$f=u\prime {\mathrm{e}}^u$	$F={\mathrm{e}}^u$
$f={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$  (u est strictement positive sur I)	$F=\ln \left(u\right)$
$f={\displaystyle \frac{u\prime }{u^2}}$  (u ne s'annule pas sur I)	$F=-{\displaystyle \frac{1}{u}}$
$f={\displaystyle \frac{u\prime }{u^n}}$  (u ne s'annule pas sur I et $n>1$ entier naturel)	$F=-{\displaystyle \frac{1}{\left(n-1\right)u^{n-1}}}$

exemple

Déterminer la primitive F de la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{1-x^2}$ telle que $F\left(1\right)=0$.

Soit u la fonction définie pour tout réel x par $u\left(x\right)=1-x^2$. La fonction u est dérivable et, pour tout réel x, $u\prime \left(x\right)=-2x$.

Ainsi, pour tout réel x, $$f\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{1-x^2}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(-2x\right)\times {\mathrm{e}}^{1-x^2}$$

Soit $f=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times u\prime {\mathrm{e}}^u$. Par conséquent, une primitive F de la fonction f est la fonction définie pour tout réel x, par $F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{1-x^2}+c$ où c est un réel à déterminer.

Or $F\left(1\right)=0\iff -{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\mathrm{e}}^0+c=0\iff c={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Ainsi, la primitive F de la fonction f telle que $F\left(1\right)=0$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{1-x^2}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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