Calcul intégral

IV - Intégrale d'une fonction continue

1 - Définition

Soit f une fonction continue sur un intervalle $\left[a;b\right]$ et F une primitive de la fonction f sur $\left[a;b\right]$.
L'intégrale de la fonction f entre a et b est le nombre réel égal à $F\left(b\right)-F\left(a\right)$ :$${\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x=F\left(b\right)-F\left(a\right)$$

remarques :

• La différence $F\left(b\right)-F\left(a\right)$ se note ${\left[F\left(x\right)\right]}_a^b$. Ainsi, $${\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$$
• Le choix de la primitive F n'influe pas sur la valeur de l'intégrale.
  En effet, si G est une autre primitive de f sur I, il existe un réel k tel que $G\left(x\right)=F\left(x\right)+k$ d'où $$G\left(b\right)-G\left(a\right)=\left(F\left(b\right)+k\right)-\left(F\left(a\right)+k\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right)$$
• Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle $\left[a;b\right]$ alors l'intégrale ${\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ est l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine compris entre la courbe ${𝒞}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

exemple

$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e}}}\left(x-{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{x^2}}\right)\mathrm{d}x& =& {\left[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-\ln \left(x\right)-{\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{x}}\right]}_1^{\mathrm{e}}\\ & =& \left({\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2}{2}}-\ln \left(\mathrm{e}\right)-{\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}}}\right)-\left({\displaystyle \frac{1}{2}}-\ln \left(1\right)-{\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{1}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2}{2}}+\mathrm{e}-{\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$$

2 - Premières propriétés

Soit f une fonction continue sur un intervalle I de $ℝ$. Pour tout réel a appartenant à I :$${\displaystyle {\int }_a^a}f\left(x\right)\mathrm{d}x=0$$

Preuve :

Soit F une primitive de f sur I : $${\displaystyle {\int }_a^a}f\left(x\right)\mathrm{d}x=F\left(a\right)-F\left(a\right)=0$$

Soit f une fonction continue sur un intervalle I de $ℝ$, a et b deux réels appartenant à I :$${\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x=-{\displaystyle {\int }_b^a}f\left(x\right)\mathrm{d}x$$

Preuve :

Soit F une primitive de f sur I :$$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x=F\left(b\right)-F\left(a\right)& \text{et}& {\displaystyle {\int }_b^a}f\left(x\right)\mathrm{d}x=F\left(a\right)-F\left(b\right)\end{array}$$

V - Propriétés de l'intégrale

1 - Positivité

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels appartenant à I.
Si $a⩽b$ et $f⩾0$ sur l'intervalle $\left[a;b\right]$, alors ${\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x⩾0$.

démonstration

Soit F une primitive de f sur I. Pour tout réel x de l'intervalle I, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

Comme $f⩾0$ sur l'intervalle $\left[a;b\right]$, on en déduit que la fonction F est croissante sur $\left[a;b\right]$.
Par conséquent, si $a⩽b$, alors $F\left(a\right)⩽F\left(b\right)\iff F\left(b\right)-F\left(a\right)⩾0$ d'où ${\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x⩾0$.

ATTENTION la réciproque est fausse :

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x^2}{3}}+{\displaystyle \frac{5}{3}}x$

$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_{-2}^4}\left(-{\displaystyle \frac{x^2}{3}}+{\displaystyle \frac{5}{3}}x\right)\mathrm{d}x& =& {\left[-{\displaystyle \frac{x^3}{9}}+{\displaystyle \frac{5}{6}}{x}^2\right]}_{-2}^4\\ & =& \left(-{\displaystyle \frac{64}{9}}+{\displaystyle \frac{40}{3}}\right)-\left({\displaystyle \frac{8}{9}}+{\displaystyle \frac{10}{3}}\right)\\ & =& 2\end{array}$$Ainsi ${\displaystyle {\int }_{-2}^4}f\left(x\right)\mathrm{d}x⩾0$ mais sur l'intervalle $\left[-2;0\right]$ on a $f\left(x\right)⩽0$.

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On démontre de manière analogue la propriété suivante :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels appartenant à I.
Si $a⩽b$ et $f⩽0$ sur l'intervalle $\left[a;b\right]$, alors ${\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x⩽0$.

2 - Linéarité

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I de $ℝ$. Pour tous réels a et b appartenant à I, et pour tout réel α :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_a^b}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x+{\displaystyle {\int }_a^b}g\left(x\right)\mathrm{d}x& \text{et}& {\displaystyle {\int }_a^b}\alpha f\left(x\right)\mathrm{d}x=\alpha {\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x\end{array}$$

démonstrations

1. Si F et G sont deux primitives respectives des fonctions f et g sur I, alors $F+G$ est une primitive sur I de la fonction $f+g$ :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_a^b}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\mathrm{d}x& =& \left(F\left(b\right)+G\left(b\right)\right)-\left(F\left(a\right)+G\left(a\right)\right)\\ & =& \left(F\left(b\right)-F\left(a\right)\right)+\left(G\left(b\right)-G\left(a\right)\right)\\ & =& {\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x+{\displaystyle {\int }_a^b}g\left(x\right)\mathrm{d}x\end{array}$$

2. Soit F une primitive de f sur I et α un réel :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_a^b}\alpha f\left(x\right)\mathrm{d}x& =& \alpha F\left(b\right)-\alpha F\left(a\right)\\ & =& \alpha \left(F\left(b\right)-F\left(a\right)\right)\\ & =& \alpha {\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x\end{array}$$

3 - Relation de Chasles

Soit f une fonction continue sur un intervalle I de $ℝ$. Pour tous réels a, b et c appartenant à I :$${\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_a^c}f\left(x\right)\mathrm{d}x+{\displaystyle {\int }_c^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x$$

démonstration

Soit F une primitive de f sur I. Pour tous réels a, b et c appartenant à I :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_a^c}f\left(x\right)\mathrm{d}x+{\displaystyle {\int }_c^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x& =& \left(F\left(c\right)-F\left(a\right)\right)+\left(F\left(b\right)-F\left(c\right)\right)\\ & =& F\left(b\right)-F\left(a\right)\\ & =& {\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x\end{array}$$

interprétation graphique :

Dans le cas où f est une fonction continue et positive sur $\left[a;b\right]$.
L'aire du domaine compris entre la courbe ${𝒞}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est égale à la somme des aires du domaine compris entre la courbe ${𝒞}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=c$ et du domaine compris entre la courbe ${𝒞}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=c$ et $x=b$.

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3 - Ordre

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a et b deux réels appartenant à I tels que $a⩽b$.
Si pour tout réel x appartenant à $\left[a;b\right]$, $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$, alors ${\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x⩽{\displaystyle {\int }_a^b}g\left(x\right)\mathrm{d}x$

démonstration

Si pour tout réel x appartenant à $\left[a;b\right]$, $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$, alors $f\left(x\right)-g\left(x\right)⩽0$. Comme f et g sont deux fonctions continues sur $\left[a;b\right]$, la fonction $f-g$ est continue sur $\left[a;b\right]$.

Par conséquent, si $a⩽b$ et $f-g⩽0$ alors ${\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)-g\left(x\right)\mathrm{d}x⩽0$ soit ${\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x-{\displaystyle {\int }_a^b}g\left(x\right)\mathrm{d}x⩽0$.

ATTENTION la réciproque est fausse :

Considérons les fonctions f et g définies sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{5}}-{\displaystyle \frac{3}{5}}x-{\displaystyle \frac{4}{5}}$ et $g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}x+1$.

$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_{-2}^6}\left({\displaystyle \frac{x^2}{5}}-{\displaystyle \frac{3}{5}}x-{\displaystyle \frac{4}{5}}\right)\mathrm{d}x& =& {\left[{\displaystyle \frac{x^3}{15}}-{\displaystyle \frac{3}{10}}{x}^2-{\displaystyle \frac{4}{5}}x\right]}_{-2}^6\\ & =& \left({\displaystyle \frac{72}{5}}-{\displaystyle \frac{54}{5}}-{\displaystyle \frac{24}{5}}\right)-\left(-{\displaystyle \frac{8}{15}}-{\displaystyle \frac{6}{5}}+{\displaystyle \frac{8}{5}}\right)\\ & =& -{\displaystyle \frac{16}{15}}\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_{-2}^6}\left(-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}x+1\right)\mathrm{d}x& =& {\left[-{\displaystyle \frac{x^3}{12}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}{x}^2+x\right]}_{-2}^6\\ & =& \left(-18+{\displaystyle \frac{27}{2}}+6\right)-\left({\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}-2\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}$$

Ainsi, ${\displaystyle {\int }_{-2}^6}f\left(x\right)\mathrm{d}x⩽{\displaystyle {\int }_{-2}^6}g\left(x\right)\mathrm{d}x$ mais nous ne pouvons pas conclure que sur l'intervalle $\left[-2;6\right]$, $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$.
En effet, sur chacun des intervalles $\left[-2;-1\right]$ ou $\left[4;6\right]$ on a $f\left(x\right)⩾g\left(x\right)$.

VI - Intégrale et moyenne

1 - Inégalités de la moyenne

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle $\left[a;b\right]$ de $ℝ$ (avec $a<b$). Soit m et M deux réels.
Si pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[a;b\right]$, $m⩽f\left(x\right)⩽M$, alors :$$m\times \left(b-a\right)⩽{\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x⩽M\times \left(b-a\right)$$

démonstration

Les fonctions constantes définies sur $\left[a;b\right]$ par $x\mapsto m$ et $x\mapsto M$ sont continues.

Si pour tout réel x appartenant à $\left[a;b\right]$, $m⩽f\left(x\right)⩽M$, alors d'après la propriété de l'intégration d'une inégalité on a : $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_a^b}m\mathrm{d}x⩽{\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x⩽{\displaystyle {\int }_a^b}M\mathrm{d}x& \iff & m\times {\displaystyle {\int }_a^b}\mathrm{d}x⩽{\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x⩽M\times {\displaystyle {\int }_a^b}\mathrm{d}x\\ & \iff & m\times \left(b-a\right)⩽{\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x⩽M\times \left(b-a\right)\end{array}$$

interprétation graphique :

Dans le cas où f est une fonction continue et positive sur $\left[a;b\right]$.
L'aire du domaine hachuré compris entre la courbe ${𝒞}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ est comprise entre les aires des rectangles $R_1$ de côtés m et $b-a$ et $R_2$ de côtés M et $b-a$.

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2 - Valeur moyenne

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle $\left[a;b\right]$ de $ℝ$ (avec $a<b$).
On appelle valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ le réel $\mu ={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^b}f\left(x\right)\mathrm{d}x$.

interprétation graphique :

Dans le cas où f est une fonction continue et positive sur $\left[a;b\right]$.
L'aire du domaine hachuré compris entre la courbe ${𝒞}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ est égale à l'aire du rectangle colorié de côtés μ et $b-a$.

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exemple

La capacité de production d'un certain article d'une entreprise est limitée à 1200 articles par jour. On suppose que tous les articles fabriqués sont vendus.
Le bénéfice, en milliers d'euros, réalisé par l'entreprise pour x centaines d'articles vendus, est donné sur l'intervalle $\left[0;12\right]$ par $f\left(x\right)=3-{\displaystyle \frac{x}{4}}-4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}$.
On considère que pendant l'année, le nombre d'articles commercialisés par l'entreprise a varié entre 200 et 1000 articles par jour.
Déterminer la valeur moyenne du bénéfice réalisé par l'entreprise par jour. (On donnera le résultat arrondi à l'euro près).

La valeur moyenne $\mu$ de la fonction f sur l'intervalle $\left[2;10\right]$ est :$$\begin{array}{rcl}\mu ={\displaystyle \frac{1}{10-2}}\times {\displaystyle {\int }_2^{10}}\left(3-{\displaystyle \frac{x}{4}}-4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}\right)\mathrm{d}x& \iff & \mu ={\displaystyle \frac{1}{8}}\times {\left[3x-{\displaystyle \frac{x^2}{8}}+16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}x}\right]}_2^{10}\\ & \iff & \mu ={\displaystyle \frac{1}{8}}\times \left[\left(30-{\displaystyle \frac{100}{8}}+16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}\right)-\left(6-{\displaystyle \frac{4}{8}}+16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}\right)\right]\\ & \iff & \mu ={\displaystyle \frac{12+16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}-16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}}{8}}\\ & \iff & \mu =\mathrm{1,5}+2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}-2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}\approx \mathrm{0,451}\end{array}$$

La valeur moyenne du bénéfice réalisé par l'entreprise est de 451 euros par jour.

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