limites de fonctions

formes indéterminées classiques

Nous avons quatre cas de formes indéterminées « - »; « 0× »; «»; «00». Lorsqu'on rencontre l'une de ces formes une étude particulière s'impose, cependant pour l'étude de la limie à l'infini des fonctions polynômes ou rationnelles nous disposons de théorèmes.

1 - Limite à l'infini des fonctions polynômes.

Exemple :

Soit f la fonction polynôme définie sur par f(x)=0,1x3-0,2x2+0,3x+0,9.

  1. Étude de la limite en -

    limx-0,1x3=-, limx--0,2x2=- et limx-0,3x=-. Par somme des limites : limx-f(x)=-

  2. Étude de la limite en +

    limx+0,1x3=+ et  limx+-0,2x2=- ; nous sommes alors en présence de la forme indéterminée "-".

    Courbes représentatives des fonctions u, v et f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    • La fonction f peut être considérée, comme la somme de deux fonctions polynômes u et v avec
      u(x)=0,1x3 et v(x)=-0,2x2+0,3x+0,9 ( les courbes représentatives des trois fonctions f , u et v sont tracées ci-contre ).

      L'observation des trois courbes nous suggère, de nous intéresser plus particulièrement au terme de degré 3 en + .

    • Or, pour tout réel x0 :0,1x3-0,2x2+0,3x+0,9=0,1x3×(1-2x+3x2+9x3)

      Comme limx+-2x=0 ; limx+3x2=0 et limx+9x3=0, par somme des limites, limx+1-2x+3x2+9x3=1.

      comme limx+0,2x3=+ et limx+(1-2x+3x2+9x3)=1, nous avons par produit de limites : limx+f(x)=+


Plus généralement, si f est une fonction polynôme, le théorème suivant permet de simplifier l'étude de la limite en + ou en ( - ) et éventuellement de lever l'indétermination.

théorème

Soit n un entier naturel non nul et a0,a1,,an-1,an une suite de nombres réels avec an0.

La limite en + (resp. en -) de la fonction polynôme : xanxn+an-1xn-1++a1x+a0 est égale à la limite en + (resp. en -) de la fonction : xanxn.

En d'autres termes : La limite d'une fonction polynôme en + (resp. en -) est celle de son monôme de plus haut degré.

Démonstration

Soit f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0 un polynôme de degré n.

Pour tout réel x0 : anxn+an-1xn-1++a1x+a0=anxn×(1+an-1anx++a1anxn-1+a0anxn)

Comme la limite en + ou en ( - ) de chacun des termes an-1anx,,a0anxn est égale à 0, limx±(1+an-1anx++a1an xn-1+a0an xn)=1

Donc par produit des limites, la limite de f(x) en ± est celle de anxn en ±.

remarque

L' étude des limites en ± de la fonction citée dans l'exemple précédent est facilitée en utilisant le théorème :

limx-0,1x3-0,2x2+0,3x+0,9=limx-0,1x3=- et limx+0,1x3-0,2x2+0,3x+0,9=limx+0,1x3=+.

2 - Limite à l'infini des fonctions rationnelles.

exemple

Déterminer la limite en + de la fonction rationnelle f définie sur ]1;+[ par f(x)=3x4-6x2+11-x5

Comme pour les fonctions polynômes on s'intéresse aux termes de plus haut degré.

En effet,pour tout réel x non nul :3x4-6x2+11-x5=3x4(1-2x2+13x4)-x5(1-1x5)=3(1-2x2+13x4)-x(1-1x5)=-3x×1-2x2+13x41-1x5

Or  limx+(1-2x2+13x4)=1 et limx+(1-1x5)=1 d'où  limx+f(x)=limx+-3x. Donc limx+f(x)=0 .

Plus généralement, si f est une fonction rationnelle, le théorème suivant permet de simplifier l'étude de la limite en + ou en ( + ) et éventuellement de lever l'indétermination.

théorème

Soient n et p des entiers naturels non nuls, a0,a1,,an-1,an et b0,b1,,bp-1,bp des nombres réels avec an0 et bp0

La limite en + (resp. en -) de la fonction rationnelle :xanxn+an-1xn-1++a1x+a0bpxp+bp-1xp-1++b1x+b0 est égale à la limite en + (resp. en -) de la fonction : xanxnbpxp

En d'autres termes : La limite d'une fonction rationnelle en + (resp. en -) est celle du quotient des monômes de plus haut degré.

démonstration

Soit  f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0bpxp+bp-1xp-1++b1x+b0 une fonction rationnelle . Pour tout réel x0 : anxn+an-1xn-1++a1x+a0bpxp+bp-1xp-1++b1x+b0=anxn(1+an-1anx++a0anxn)bpxp(1+bp-1bpx++b0bpxp)=anxnbpxp×1+an-1anx++a0anxn1+bp-1bpx++b0bpxp

Comme la limite en + ou en ( - ) de chacun des termes (1+an-1anx++a0anxn) et (1+bp-1bpx++b0bpxp) est égale à 1, limx±1+an-1anx++a0anxn1+bp-1bpx++b0bpxp=1.

Donc la limite de f(x) en l'infini est la limite en l'infini du quotient anxnbpxp

remarque

L'étude de la limite de la limite en + de la fonction citée dans l'exemple précédent est facilitée en utilisant le théorème:

limx+3x4-6x2+11-x5=limx+3x4-x5=limx+-3x=0   d'où  limx+f(x)=0


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