Nous avons quatre cas de formes indéterminées « »; « »; «»; «». Lorsqu'on rencontre l'une de ces formes une étude particulière s'impose, cependant pour l'étude de la limie à l'infini des fonctions polynômes ou rationnelles nous disposons de théorèmes.
Soit f la fonction polynôme définie sur par .
Étude de la limite en
, et . Par somme des limites :
Étude de la limite en
et ; nous sommes alors en présence de la forme indéterminée "".
La fonction f peut être considérée, comme la somme de deux fonctions polynômes u et v avec
et ( les courbes représentatives des trois fonctions f , u et v sont tracées ci-contre ).
L'observation des trois courbes nous suggère, de nous intéresser plus particulièrement au terme de degré 3 en .
Or, pour tout réel :
Comme ; et , par somme des limites, .
comme et , nous avons par produit de limites :
Plus généralement, si f est une fonction polynôme, le théorème suivant permet de simplifier l'étude de la limite en ou en ( ) et éventuellement de lever l'indétermination.
Soit n un entier naturel non nul et une suite de nombres réels avec .
La limite en (resp. en ) de la fonction polynôme : est égale à la limite en (resp. en ) de la fonction : .
En d'autres termes : La limite d'une fonction polynôme en (resp. en ) est celle de son monôme de plus haut degré.
Soit un polynôme de degré n.
Pour tout réel :
Comme la limite en ou en ( ) de chacun des termes est égale à 0,
Donc par produit des limites, la limite de en est celle de en .
L' étude des limites en de la fonction citée dans l'exemple précédent est facilitée en utilisant le théorème :
et .
Déterminer la limite en de la fonction rationnelle f définie sur par
Comme pour les fonctions polynômes on s'intéresse aux termes de plus haut degré.
En effet,pour tout réel x non nul :
Or et d'où . Donc .
Plus généralement, si f est une fonction rationnelle, le théorème suivant permet de simplifier l'étude de la limite en ou en ( ) et éventuellement de lever l'indétermination.
Soient n et p des entiers naturels non nuls, et des nombres réels avec et
La limite en (resp. en ) de la fonction rationnelle : est égale à la limite en (resp. en ) de la fonction :
En d'autres termes : La limite d'une fonction rationnelle en (resp. en ) est celle du quotient des monômes de plus haut degré.
Soit une fonction rationnelle . Pour tout réel :
Comme la limite en ou en ( ) de chacun des termes et est égale à 1, .
Donc la limite de en l'infini est la limite en l'infini du quotient
L'étude de la limite de la limite en de la fonction citée dans l'exemple précédent est facilitée en utilisant le théorème:
d'où
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