À condition que la limite du dénominateur ne soit pas nulle la conjecture "La limite d'un quotient est le quotient des limites" est vérifiée sauf pour les cas symbolisés par et .
Les différents résultats possibles figurent dans le tableau suivant:
Si f a pour limite en α | L | 0 | |||
Si g a pour limite en α | 0 | M | 0 | ||
Alors a pour limite en α | À Étudier | À Étudier |
Pour déterminer le signe de la limite du quotient on utilise la règle des signes.
En remarquant que , les deux formes indéterminées et , se déduisent de la forme indéterminée concernant le produit de deux fonctions 0 × ∞.
Cas :
Si alors . Donc si et , est de la forme indéterminée 0 × ∞ .
Cas :
Si alors . Donc si et , est de la forme indéterminée 0 × ∞ .
Comme pour la somme et le produit de deux fonctions quand on se trouve en présence d'une des deux formes indéterminées ou , l'étude de la limite du quotient se fera au cas par cas.
et Avec ces fonctions . | et Avec ces fonctions, . |
Considérons la fonction rationnelle f définie sur par
Sur la fonction f est le quotient de deux fonctions u et v telles que et .
Sur le graphique ci-contre sont tracées les courbes représentatives des trois fonctions f , u et v on remarque que :
La forme indéterminée nous suggère qu'une factorisation des deux polynômes u et v est possible.
En effet pour tout réel , ainsi pour , nous avons .
On en déduit que les limites de la fonction f aux différentes bornes de son domaine de définition se déduisent des limites de la fonction g définie sur par
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