limites de fonctions

opérations sur les limites

Limite du quotient de deux fonctions.

À condition que la limite du dénominateur ne soit pas nulle la conjecture "La limite d'un quotient est le quotient des limites" est vérifiée sauf pour les cas symbolisés par 00 et .

Les différents résultats possibles figurent dans le tableau suivant:

α désigne un nombre réel, ou + ou -, L et M sont des nombres réels.

Si f a pour limite en α

LL0±±0

Si g a pour limite en α

M00M±0

Alors fg a pour limite en α

LM±±À ÉtudierÀ Étudier

Pour déterminer le signe de la limite du quotient fg on utilise la règle des signes.

formes indéterminées

En remarquant que fg=f×1g, les deux formes indéterminées 00 et , se déduisent de la forme indéterminée concernant le produit de deux fonctions 0 × ∞.

formes indéterminées 00 ou

Comme pour la somme et le produit de deux fonctions quand on se trouve en présence d'une des deux formes indéterminées 00 ou , l'étude de la limite du quotient se fera au cas par cas.

limx+f(x)=-  et  limx+g(x)=+

Limite infine du produit : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Avec ces fonctions limx+f(x)g(x)=0 .

limx+f(x)=0+  et  limx+g(x)=0+

Limite infine du produit : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Avec ces fonctions, limx+f(x)g(x)=+ .

Exemple :

Considérons la fonction rationnelle f définie sur ℝ;\{3} par f(x)=0,05x3-0,15x20,2x-0,6

Sur \{3} la fonction f est le quotient de deux fonctions u et v telles que u(x)=0,05x3-0,15x2 et v(x)=0,2x-0,6.

Courbes représentatives des fonctions u, v et f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Sur le graphique ci-contre sont tracées les courbes représentatives des trois fonctions f , u et v on remarque que :

La forme indéterminée 00 nous suggère qu'une factorisation des deux polynômes u et v est possible.

En effet pour tout réel x3 , 0,05x3-0,15x20,2x-0,6=0,05x2(x-3)0,2(x-3)=x24 ainsi pour x3 , nous avons f(x)=x24.


On en déduit que les limites de la fonction f aux différentes bornes de son domaine de définition Df=]-;0[]0;+[ se déduisent des limites de la fonction g définie sur Df par g(x)=x24


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