opérations sur les limites

Limite du produit de deux fonctions.

Là aussi la conjecture "La limite d'un produit est le produit des limites" est vérifiée sauf pour le cas symbolisé par symbolisé par $$ 0\times \infty $$.

Les différents résultats possibles figurent dans le tableau suivant:

α désigne un nombre réel, ou $+\infty$ ou $-\infty$ L et M sont des nombres réels.

Si f a pour limite en α	L	$\pm \infty$	$\pm \infty$	$\pm \infty$
Si g a pour limite en α	M	$M\ne 0$	$\pm \infty$	0
Alors f × g a pour limite en α	L × M	$\pm \infty$	$\pm \infty$	À Étudier

Pour déterminer le signe de la limite du produit f × g on utilise la règle des signes.

forme indéterminée $$ 0\times \infty $$

La forme $$ 0\times \infty $$ est une forme indéterminée, l'étude de la limite du produit se fera au cas par cas.

En effet, si l'une des deux fonctions a pour limite en α $\pm \infty$ et que l'autre a pour limite en α 0 tout peut arriver comme on peut le voir sur les illustrations suivantes:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ Dans ce cas : $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)\times g\left(x\right)=L$ .

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ Dans ce cas : $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)\times g\left(x\right)=0$ .

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0^{-}$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ Dans ce cas : $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)\times g\left(x\right)=-\infty$.

Exemple:

Étude des limites aux bornes de l'intervalle de définition de la fonction f définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)$ .

On reconnaît dans l'écriture de la fonction f le produit de deux fonctions.

• Limite quand x tend vers 0 avec $x>0$
  $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^2=0$ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}-1=+\infty$ nous sommes en présence de la forme indéterminée $$ 0\times \infty $$
  or pour x ≠ 0 $x^2\left({\displaystyle \frac{1}{x}}-1\right)=x-x^2$ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x-x^2=0$ donc $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=0$

• Limite quand x tend vers $+\infty$
  $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}-1=-1$ donc par produit: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

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