théorèmes de comparaison

1 - limites par comparaison.

Théorème 1 (admis)

α désigne un nombre réel ou $+\infty$ ou $+\infty$. f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I.
Si pour tout réel x de l'intervalle I, $f\left(x\right)⩾g\left(x\right)$ et $\underset{x\to \alpha }{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ alors $\underset{x\to \alpha }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

Exemple

Soit f la fonction définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\sqrt{x+{cos}^{2}x}$.

La fonction cosinus n'ayant pas de limite en $+\infty$, nous ne pouvons pas calculer directement la limite en $+\infty$ de la fonction f .

Or pour tout réel x, $-1⩽\cos x⩽1$ d'où $0⩽{\cos }^{2}x⩽1$ et par conséquent, $x+{\cos }^{2}x⩾x$.

Ainsi pour tout réel $x⩾0$, $\sqrt{x+{\cos }^{2}x}⩾\sqrt{x}$ et commme $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x}=+\infty$ , d'après le théorème $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x+{cos}^{2}x}=+\infty$.

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Théorème 2 (admis)

Exemple

Soit f la fonction définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=2x-\sqrt{9x^2+1}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$ .

Le calcul de la limite en $+\infty$ de la fonction f , fait apparaître la forme indéterminée "$\infty -\infty$"

Or pour tout réel x, $9x^2+1⩾9x^2$. Comme $x⩾0$, on en déduit : $$\begin{array}{ccc}\sqrt{9x^2+1}⩾3x& \text{d'où}& -\sqrt{9x^2+1}⩽-3x\hfill \\ & \text{donc}& 2x-\sqrt{9x^2+1}+{\displaystyle \frac{1}{4}}⩽-x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\hfill \end{array}$$

Comme $\underset{x\to +\infty }{\lim }-x+{\displaystyle \frac{1}{4}}=-\infty$, d'après le théorème $\underset{x\to +\infty }{\lim }2x-\sqrt{9x^2+1}+{\displaystyle \frac{1}{4}}=-\infty$.

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2 - théorème des gendarmes (admis)

Exemple

Soit f la fonction définie sur ${ℝ}^{*}$ par $f\left(x\right)=x^{2}sin\left({\displaystyle \frac{1}{x^2}}\right)$ .

Or $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=\infty$ et, la fonction sinus n'ayant pas de limite en l'infini , nous ne pouvons pas calculer directement la limite en 0 de la fonction f .

Pour x ≠ 0 $f(-x)={(-x)}^{2}sin\left({\displaystyle \frac{1}{{(-x)}^2}}\right)=x^{2}sin\left({\displaystyle \frac{1}{x^2}}\right)=f\left(x\right)$ , ainsi la fonction f est paire, et il suffit de montrer l'existence d'une limite à droite en 0.

Or pour tout réel x ≠ 0 $-1⩽sin\left({\displaystyle \frac{1}{x^2}}\right)⩽1$ d' où $-x^2⩽x^{2}sin\left({\displaystyle \frac{1}{x^2}}\right)⩽x^2$ .

Comme $\underset{x\to 0}{\lim }-x^2=\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2=0$, d'après le théorème $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^{2}sin\left({\displaystyle \frac{1}{x^2}}\right)=0$.

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