fonction composée et limite

fonction composée de deux fonctions.

composée de deux fonctions

Exemple

Soit f la fonction définie sur $D_f=ℝ-\left\{-1;1\right\}$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}$.

Pour calculer $f\left(x\right)$ pour une valeur de x , on calcule d'abord $X=x^2-1$, puis si $X\ne 0$ on calcule ${\displaystyle \frac{1}{X}}$.

Soient u la fonction défine par $u\left(x\right)=x^2-1$ et v la fonction définie pour tout réel $X\ne 0$ par $v\left(X\right)={\displaystyle \frac{1}{X}}$.

Pour tout réel x appartenant à l'ensemble $D_f$, $f\left(x\right)=v\left[u\left(x\right)\right]$. f est la fonction composée de la fonction u suivie de v et on écrit $f=v\circ u$.

Ci-dessous vous pouvez observer la représentation graphique de la fonction f comme composée des fonctions u et v.

étudier la limite de la composée de deux fonctions.

À partir des courbes représentatives des fonctions u , v et $f=v\circ u$, nous pouvons remarquer par exemple :
$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2-1=+\infty$ et comme $\underset{X\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=0$ nous avons $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$.

Le théorème suivant ( admis ) permet de valider cette observation.

théorème

Exemple

Utilisons le théorème pour calculer les limites aux bornes du domaine de définition $D_f=\left]-\infty ;-1\right[\cup \left]-1;1\right[\cup \left]1;+\infty \right[$ de la fonctionf définie par par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}$.

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2-1=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=0$ alors $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$.
• $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }{x}^2-1=0^{+}$ et $\underset{X\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=+\infty$ alors $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.
• $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }{x}^2-1=0^{-}$ et $\underset{X\to 0^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=-\infty$ alors $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.
• $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{x}^2-1=0^{-}$ et $\underset{X\to 0^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=-\infty$ alors $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.
• $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }{x}^2-1=0^{+}$ et $\underset{X\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=+\infty$ alors $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2-1=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=0$ alors $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$.

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