opérations sur les limites

Les théorèmes suivants (admis) établissent les règles usuelles de calculs sur les limites.

Dans tous les théorèmes de ce paragraphe α désigne un nombre réel, ou $+\infty$ ou $-\infty$ ; a, L et M sont des nombres réels.

Limite de la somme de deux fonctions.

En règle générale la conjecture "La limite d'une somme est la somme des limites" est vérifiée sauf pour le cas symbolisé par "$\infty -\infty$".

1. Si $\underset{x\to \alpha }{\lim }f\left(x\right)=L$ et $\underset{x\to \alpha }{\lim }g\left(x\right)=M$ alors $\underset{x\to \alpha }{\lim }f\left(x\right)+g\left(x\right)=L+M$ .

   ILLUSTRATION

   a, b, c, d sont quatre nombres réels. Si $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=a$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)=c$ alors $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)+g\left(x\right)=a+c$. Si $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=b$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=d$ alors, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)+g\left(x\right)=b+d$.

2. Si $\underset{x\to \alpha }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{x\to \alpha }{\lim }g\left(x\right)=M$ alors $\underset{x\to \alpha }{\lim }f\left(x\right)+g\left(x\right)=-\infty$ .

   ILLUSTRATION
   Si $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=M$ alors, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)+g\left(x\right)=-\infty$.

3. Si $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)=M$ alors $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)+g\left(x\right)=+\infty$ .

   ILLUSTRATION
   Si $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)=M$ alors, $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)+g\left(x\right)=+\infty$.

4. Si $\underset{x\to \alpha }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{x\to \alpha }{\lim }g\left(x\right)=-\infty$ alors $\underset{x\to \alpha }{\lim }f\left(x\right)+g\left(x\right)=-\infty$ . Si $\underset{x\to \alpha }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to \alpha }{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ alors $\underset{x\to \alpha }{\lim }f\left(x\right)+g\left(x\right)=+\infty$

   ILLUSTRATION

   Si $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ alors, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)+g\left(x\right)=+\infty$. Si $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=-\infty$ alors, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)+g\left(x\right)=-\infty$.

forme indéterminée $\infty -\infty$

La forme "$\infty -\infty$" est une forme indéterminée, l'étude de la limite de la somme se fait au cas par cas.

En effet, si l'une des deux fonctions a pour limite en α $+\infty$ et que l'autre a pour limite en α $-\infty$ , tout peut arriver comme on peut le voir sur les illustrations suivantes :

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=-\infty$ $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)+g\left(x\right)=+\infty$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=-\infty$ $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)+g\left(x\right)=-\infty$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=-\infty$ $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)+g\left(x\right)=L$.

En résumé

On retient le tableau suivant:

α désigne un nombre réel, ou $+\infty$ ou $-\infty$, L et M sont des nombres réels.

Si f a pour limite en α	L	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
Si g a pour limite en α	M	M	M	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
Alors f + g a pour limite en α	L + M	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	À Étudier

Exemple:

Étude des limites aux bornes de l'intervalle de définitionde la fonction f définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x^2+{\displaystyle \frac{1}{x}}$ ?

On reconnaît dans l'écriture de la fonction f la somme de deux fonctions de référence.

• Limite quand x tend vers 0 avec $x>0$
  $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^2=0$ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=+\infty$ donc par somme : $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

• Limite quand x tend vers $+\infty$
  $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=0$ donc par somme : $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

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