Dire que deux évènements évènements A et B sont indépendants signifie que :
Dire que deux évènements sont indépendants signifie que la réalisation de l'un ne modifie pas la réalisation de l'évènement de l'autre.
Si et on a les équivalences :
preuve :
Si comme , on en déduit que A et B sont indépendants si, et seulement si,
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ayant deux issues, l'une appelée « succès » de probabilité p et l'autre appelée « échec » de probabilité .
La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes s'appelle un schéma de Bernoulli.
exemple
On répète 3 fois une épreuve de Bernoulli successivement et de façon indépendante. La probabilité du succès est , la probabilité de l'echec est .
L'expérience comporte huit issues, chacune de ces issues pouvant être schématisée à l'aide d'un mot de trois lettres :
On répète successivement n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
On appelle coefficient binomial et on note le nombre d'issues réalisant k succès parmi les n épreuves de Bernoulli répétées.
Dans l'exemple précédent, il y a issues pour lesquels il y a deux succès.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli à n épreuves où la probabilité du succès de chaque épreuve est p. La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de paramètres n et p.
Cette loi est notée , elle est définie par :
exemple
La loi de probabilité de la loi binomiale de paramètres 4 et p (avec ) est :
k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Soit X la variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p. Pour tout entier k tel que :
En particulier où . (L'évènement « obtenir au moins un succès » est l'évènement contraire de l'évènement « obtenir n échecs consécutifs »)
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p.
L'espérance mathématique est ; l'écart-type est .
exemple
Dans une entreprise de vente par correspondance, une étude statistique a montré que 40 % des clients choisissent l'option « Livraison Express ».
On prélève au hasard 30 bons de commande. On considère que le nombre de bons de commande est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 30 bons.
On note X la variable aléatoire qui associe le nombre de bons portant la mention « Livraison Express ».
Calculer l'espérance mathématique , interpréter le résultat.
On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 30 bons donc X suit la loi binomiale de paramètres et .
Sur un grand nombre de prélèvements de 30 bons on trouve en moyenne 12 bons de commande avec la mention « Livraison Express ».
Déterminer la probabilité, arrondie au millième près, qu'au moins 16 bons de commande portent la mention « Livraison Express ».
À l'aide de la calculatrice, on a :
La probabilité qu'au moins 16 bons portent la mention « Livraison Express » est 0,097.
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