cours terminale ES obligatoire et L spécialité

Probabilités discrètes

IV - Évènements indépendants

1 - Indépendance de deux évènements

Dire que deux évènements évènements A et B sont indépendants signifie que : p(AB)=p(A)×p(B)

Dire que deux évènements sont indépendants signifie que la réalisation de l'un ne modifie pas la réalisation de l'évènement de l'autre.

2 - propriété

Si p(A)0 et p(B)0 on a les équivalences : A et B indépendantsp(B)=pA(B) et p(A)=pB(A)

preuve :

Si p(A)0 comme p(AB)=pA(B)×p(A), on en déduit que A et B sont indépendants si, et seulement si, p(A)×p(B)=pA(B)×p(A)p(B)=pA(B)

3 - loi binomiale

schéma de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ayant deux issues, l'une appelée « succès » de probabilité p et l'autre appelée « échec » de probabilité q=1-p.
La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes s'appelle un schéma de Bernoulli.

exemple

On répète 3 fois une épreuve de Bernoulli successivement et de façon indépendante. La probabilité du succès est p(S)=p, la probabilité de l'echec est p(S¯)=1-p=q.

Schéma de Bernoulli : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

L'expérience comporte huit issues, chacune de ces issues pouvant être schématisée à l'aide d'un mot de trois lettres : {SSS;SSS¯;SS¯S;SS¯S¯;S¯SS;S¯SS¯;S¯S¯S;S¯S¯S¯}

coefficients binomiaux

On répète successivement n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
On appelle coefficient binomial et on note (nk) le nombre d'issues réalisant k succès parmi les n épreuves de Bernoulli répétées.

Dans l'exemple précédent, il y a (32)=3 issues pour lesquels il y a deux succès.

loi binomiale

Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli à n épreuves où la probabilité du succès de chaque épreuve est p. La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de paramètres n et p.
Cette loi est notée (n,p), elle est définie par :P(X=k)=(nk)pk(1-p)n-kpour tout entier k tel que  0kn

exemple

La loi de probabilité de la loi binomiale (4,p) de paramètres 4 et p (avec q=1-p) est :

k01234
P(X=k)q44×p×q36×p2×q24×p3×qp4

propriétés

Soit X la variable aléatoire qui suit la loi binomiale (n,p) de paramètres n et p. Pour tout entier k tel que 0kn :

  • P(Xk)=1-P(X>k)
  • P(Xk)=1-P(X<k)

En particulier P(X1)=1-P(X=0)=1-qnq=1-p. (L'évènement « obtenir au moins un succès » est l'évènement contraire de l'évènement « obtenir n échecs consécutifs »)


Espérance et écart-type de la loi binomiale

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale (n,p) de paramètres n et p.
L'espérance mathématique est E(X)=np ; l'écart-type est σ(X)=np(1-p).

exemple

Dans une entreprise de vente par correspondance, une étude statistique a montré que 40 % des clients choisissent l'option « Livraison Express ».
On prélève au hasard 30 bons de commande. On considère que le nombre de bons de commande est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 30 bons.
On note X la variable aléatoire qui associe le nombre de bons portant la mention « Livraison Express ».

  1. Calculer l'espérance mathématique E(X), interpréter le résultat.

    On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 30 bons donc X suit la loi binomiale (300,4) de paramètres n=30 et p=0,4.E(X)=30×0,4=12

    Sur un grand nombre de prélèvements de 30 bons on trouve en moyenne 12 bons de commande avec la mention « Livraison Express ».


  2. Déterminer la probabilité, arrondie au millième près, qu'au moins 16 bons de commande portent la mention « Livraison Express ».

    À l'aide de la calculatrice, on a :P(X16)=1-P(X15)0,097

    La probabilité qu'au moins 16 bons portent la mention « Livraison Express » est 0,097.



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