Soit Ω l'univers associé à une expérience aléatoire, A et B deux évènements.
Ω désigne un univers de n éventualités .
Soit Ω un univers fini sur lequel est définie une loi de probabilité.
Soit Ω un univers fini de n éventualités. Si tous les évènements élémentaires ont la même probabilité c'est à dire, si , alors l'univers est dit équiprobable.
On a alors pour tout évènement A,
Notation :
Soit E un ensemble fini, le cardinal de E noté est le nombre d'éléments de l'ensemble E.
exemple
On lance deux dés équilibrés. Quel est l'évènement le plus probable A « la somme des nombres obtenus est égale à 7 » ou B « la somme des nombres obtenus est égale à 8 » ?
Si on s'intéresse à la somme des deux dés, l'univers est mais il n'y a pas équiprobabilité car chaque évènement élémentaire n'a pas la même probabilité :
On se place dans une situation d'équiprobabilité en représentant une issue à l'aide d'un couple où a est le résultat du premier dé et b le résultat du second dé. L'univers Ω associé à cette expérience est l'ensemble des couples formés avec les éléments de . Les dés étant équilibrés, il y a résultats équiprobables.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
1 | ||||||
2 | ||||||
3 | ||||||
4 | ||||||
5 | ||||||
6 |
L'évènement A est l'ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 7. D'où .
L'évènement B est l'ensemble des couples dont la somme des deux termes est égale à 8. D'où .
L'évènement le plus probable est A.
Soit Ω l'univers d'une expérience aléaroire de n éventualités.
Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω, qui prend les valeurs .
Lorsque, à chaque valeur , on associe la probabilité de l'évènement « », notée , on définit une loi de probabilité sur l'ensemble , appelée la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
Soit X une variable aléatoire définie sur Ω, qui prend les valeurs .
On appelle espérance mathématique de X notée , le réel :
remarque
L'espérance apparaît comme la moyenne arithmétique (au sens statistique du terme) des valeurs affectées des fréquences .
exemple
On lance à trois reprises une pièce bien équilibrée et on note le résultat à l'aide d'un mot de trois lettres. L'univers associé à cette expérience est : La pièce étant équilibrée, chaque évènement élémentaire a la même probabilité
On définit une variable aléatoire X avec la règle de jeu suivante : un joueur gagne 6 € s'il obtient trois « pile » successifs, il gagne 2 € s'il obtient deux « pile » et il perd 4 € dans tous les autres cas.
La loi de probabilité de X est :
2 | 6 | ||
L'espérance mathématique de X est :
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