bac blanc du 11 avril 2014

Corrigé de l'exercice 1

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.
On considère les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ définis par $z_1=1-\mathrm{i}$ et $z_2={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}$

1. Déterminer une forme trigonométrique de $z_1$.

   • Le module du nombre complexe $z_1=1-\mathrm{i}$ est :$$\left|z_1\right|=\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{2}$$

   • Un argument θ du nombre complexe $z_1=1-\mathrm{i}$ est tel que : $$\{\begin{array}{c}\cos \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\hfill \\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{2}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\hfill \end{array}$$ D'où $z_1$ a pour argument $\mathrm{\theta }=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

   Une forme trigonométrique de $z_1$ est donc $z_1=\sqrt{2}\left(\cos \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)\right)$.

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2. Déterminer l'écriture algébrique de $z_2$.

   Le nombre complexe $z_2={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}$ a pour module 1 et pour argument ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$ d'où $$z_2=\cos \left({\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\right)+\mathrm{i}\sin \left({\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\right)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{i}$$

   L'écriture algébrique de $z_2$ est donc $z_2=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{i}$.

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3. Soit $Z=z_1\times z_2$

   1. Déterminer l'écriture algébrique de Z.

      $$\begin{array}{lll}{z}_1{z}_2& =& \left(1-\mathrm{i}\right)\times \left(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{i}\right)\\ & =& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{i}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{i}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{i}}^2\\ & =& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{i}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{i}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}\mathrm{i}\end{array}$$

      L'écriture algébrique de $Z=z_1{z}_2$ est donc $Z={\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}\mathrm{i}$.

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   2. Déterminer une forme exponentielle de Z.

      $z_1=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$ et $z_2={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}$ d'où $$z_1{z}_2=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(-\frac{\pi }{4}+\frac{5\pi }{6}\right)}=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{7\pi }{12}}$$

      La forme exponentielle de Z est donc $Z=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{7\pi }{12}}$.

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   3. En déduire la valeur exacte de $\cos \left({\displaystyle \frac{7\pi }{12}}\right)$ et de $\sin \left({\displaystyle \frac{7\pi }{12}}\right)$.

      $Z=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{7\pi }{12}}$ d'où $Z=\sqrt{2}\left(\cos \left({\displaystyle \frac{7\pi }{12}}\right)+\mathrm{i}\sin \left({\displaystyle \frac{7\pi }{12}}\right)\right)$ de l'écriture algébrique de Z, on en déduit que $$\begin{array}{cccccc}& \cos \left({\displaystyle \frac{7\pi }{12}}\right)& =& {\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}& =& {\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}\\ \text{et}& \sin \left({\displaystyle \frac{7\pi }{12}}\right)& =& {\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}& =& {\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}\end{array}$$

      Ainsi, $\cos \left({\displaystyle \frac{7\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}$ et $\sin \left({\displaystyle \frac{7\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}$.

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