bac blanc du 11 avril 2014

Corrigé de l'exercice 4

La courbe $C_f$ tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal est la courbe représentative d'une fonction f définie sur $ℝ$.
La droite T est tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.

partie a

On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f. Par lecture graphique, déterminer $f\prime \left(0\right)$.

Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe $C_f$ au point $A\left(0;1\right)$ or cette tangente passe également par le point $B\left(-2;0\right)$ d'où $$f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{1-0}{0+2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

Ainsi, $f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=\left(x+1\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.

1. Montrer que $f\prime \left(x\right)=\left(\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}x\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.

   f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x+1\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+1\right)\times \left(-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\right)\hfill \\ & =& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}-\left(\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,5}\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill \\ & =& \left(1-\mathrm{0,5}x-\mathrm{0,5}\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill \\ & =& \left(\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}x\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill \end{array}$$

   $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)=\left(\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}x\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.

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2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ et en déduire la valeur exacte du maximum de la fonction f.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}x\right)$. Or $\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}x⩽0\iff x⩾1$.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :

   x	$-\infty$		1		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$			$2\sqrt{\mathrm{e}}$

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3. Justifier que l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}$ admet une solution unique α dans l'intervalle $\left[-\mathrm{0,7};-\mathrm{0,6}\right]$.

   $f\left(-\mathrm{0,7}\right)\approx \mathrm{0,426}$ et $f\left(-\mathrm{0,6}\right)\approx \mathrm{0,54}$. Sur l'intervalle $\left[-\mathrm{0,7};-\mathrm{0,6}\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et $f\left(-\mathrm{0,7}\right)<\mathrm{0,5}<f\left(-\mathrm{0,6}\right)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. :

   l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}$ admet une unique solution $\alpha \in \left[-\mathrm{0,7};-\mathrm{0,6}\right]$.

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4. On considère l'algorithme suivant :

   Variables :	a, b et m sont des nombres réels
   Initialisation :	Affecter à a la valeur − 0,7
   	Affecter à b la valeur − 0,6
   Traitement :	TANT QUE $b-a>\mathrm{0,001}$
   	Affecter à m la valeur ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$ SI $f\left(m\right)<\mathrm{0,5}$ ALORS Affecter à a la valeur m SINON Affecter à b la valeur m FIN SI
   	FIN TANT QUE
   Sortie :	Afficher a
   	Afficher b

   1. Faire fonctionner l'algorithme précédant en recopiant et complétant le tableau ci-dessous. On arrondira au millième les valeurs de $f\left(m\right)$.

      Initialisation						$a=-\mathrm{0,7}$	$b=-\mathrm{0,6}$
      	$b-a$	$b-a>\mathrm{0,001}$	m	$f\left(m\right)$	$f\left(m\right)<\mathrm{0,5}$	a	b
      étape 1	0,1	oui	− 0,65	0,484	oui	− 0,65	− 0,6
      étape 2	0,05	oui	− 0,625	0,513	non	− 0,65	− 0,625
      étape 3	0,025	oui	− 0,6375	0,499	oui	− 0,6375	− 0,625

   2. Interpréter les résultats trouvés pour a et b à la fin de l'étape 3.

      On obtient un nouvel encadrement de la solution α de l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}$ : $-\mathrm{0,6375}<\alpha <-\mathrm{0,625}$

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5. On cherche une primitive F de la fonction f de la forme $F\left(x\right)=\left(ax+b\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$ avec a et b deux nombres réels.

   1. Montrer que a et b sont solutions du système d'équations suivant : $\{\begin{array}{cc}\hfill -\mathrm{0,5}a& =& 1\\ \hfill a-\mathrm{0,5}b& =& 1\end{array}$

      F est une primitive de la fonction f alors pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Calculons la dérivée de la fonction F :

      $F=uv$ d'où $F\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=ax+b\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=a\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}F\prime \left(x\right)& =& a{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}\times \left(ax+b\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill \\ & =& \left(-\mathrm{0,5}ax+a-\mathrm{0,5}b\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ pour tout réel x tel que $-\mathrm{0,5}ax+a-\mathrm{0,5}b=x+1$. C'est à dire :

      pour les réels a et b solutions du système d'équations : $\{\begin{array}{cc}\hfill -\mathrm{0,5}a& =& 1\\ \hfill a-\mathrm{0,5}b& =& 1\end{array}$

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   2. Calculer a et b et donner l'expression de $F\left(x\right)$.

      $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{cc}\hfill -\mathrm{0,5}a& =& 1\\ \hfill a-\mathrm{0,5}b& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{cc}\hfill a& =& -2\\ \hfill -2-\mathrm{0,5}b& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{cc}\hfill a& =& -2\\ \hfill b& =& -6\end{array}\end{array}$$

      F est la fonction définie pour tout réel x par $F\left(x\right)=\left(-2x-6\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.

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6. On note A l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine colorié sur le graphique.

   1. Déterminer la valeur exacte de A.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}>0$ donc $f\left(x\right)$ est du même signe que $\left(x+1\right)$. Or $x+1⩾0\iff x⩾-1$.

      Sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ la fonction f est continue et positive donc l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=5$ est égale à l'intégrale de la fonction f entre 0 et 5. Soit

      $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_0^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(5\right)-F\left(0\right)\hfill \\ & =& -16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}+6\hfill \end{array}$$

      L'aire A du domaine colorié est égale à $6-16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}$ unités d'aire.

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   2. En déduire la valeur arrondie à 0,01 cm² près de l'aire, du domaine colorié sur le graphique.

      L'unité d'aire est égale à l'aire du rectangle de côtés 1 cm et 2 cm soit une aire de 2 cm² : $$2\times \left(6-16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,5}}\right)\approx \mathrm{9,37}$$

      L'aire A du domaine colorié vaut environ 9,37 cm².

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