contrôles en terminale STI2D

bac blanc du 11 avril 2014

thèmes abordés

  • Nombres complexes.
  • Suite géométrique
  • Probabilités : loi binomiale, loi exponentielle, loi normale.
  • Étude d'une fonction exponentielle.

exercice 1

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument π2.

On considère les nombres complexes z1 et z2 définis par z1=1-i et z2=ei5π6

  1. Déterminer une forme trigonométrique de z1.

  2. Déterminer l'écriture algébrique de z2.

  3. Soit Z=z1×z2

    1. Déterminer l'écriture algébrique de Z.

    2. Déterminer une forme exponentielle de Z.

    3. En déduire la valeur exacte de cos7π12 et de sin7π12.


exercice 2

Le Phosphore 32 est un isotope radioactif du phosphore utilisé en médecine pour le traitement de certaines maladies.

partie a

On injecte à un patient une solution contenant 4×1015 noyaux de Phosphore 32. On considère que le nombre de noyaux diminue chaque jour de 4,8 %.
On note un le nombre de noyaux au bout de n jours. On a donc u0=4×1015.

  1. Calculer u1 puis u2.

  2. Exprimer un+1 en fonction de un. En déduire la nature de la suite un.

  3. Exprimer un en fonction de n.

  4. Déterminer à partir de combien de jours le nombre de noyaux aura diminué au moins de moitié.

partie b

La variable aléatoire X égale à la durée de vie en jours d'un atome de Phosphore 32 avant désintégration suit une loi exponentielle de paramètre λ=0,0486.

  1. Calculer PX>33.

  2. La demi-vie d'une substance radioactive est la durée t nécessaire pour que, statistiquement, la moitié des noyaux radioactifs présents se désintègrent (c'est à dire la durée t tel que PX<t=0,5).
    Calculer à 0,1 jour près la demi-vie du Phosphore 32.


exercice 3

Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 10-3

Une entreprise fabrique en grande quantité des tubes en aluminium.
La longueur des tubes est exprimée en millimètres. Un tube est dit « conforme pour la longueur » lorsque celle-ci appartient à l'intervalle 245255.

partie a

Dans cette partie, on considère que 5 % des tubes ne sont pas conformes pour la longueur.
On prélève au hasard 50 tubes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 tubes.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 50 tubes, associe le nombre de tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur.

  1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

  2. Calculer la probabilité PX=3. Interpréter le résultat.

  3. Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement deux tubes au moins ne sont pas conformes pour la longueur.

partie b

On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque tube pris au hasard dans la production d'une journée, associe sa longueur.
On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne 250 et d'écart type 2,5.

  1. Calculer la probabilité qu'un tube prélevé au hasard dans la production d'une journée soit conforme pour la longueur.

  2. Le contrôle de conformité mis en place rejette les tubes dont la longueur est inférieure à 245 millimètres.
    Quelle est la probabilité pour qu'un tube prélevé au hasard dans la production d'une journée soit rejeté par le contrôle de conformité ?


exercice 4

La courbe Cf tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal est la courbe représentative d'une fonction f définie sur .
La droite T est tangente à la courbe Cf au point d'abscisse 0.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

unités graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses ; 2 cm sur l'axe des ordonnées

partie a

On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. Par lecture graphique, déterminer f0.

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x par fx=x+1e-0,5x.

    1. Montrer que fx=0,5-0,5xe-0,5x.

    2. Étudier le signe de fx et en déduire la valeur exacte du maximum de la fonction f.

  1. Justifier que l'équation fx=0,5 admet une solution unique α dans l'intervalle -0,7-0,6.

  2. On considère l'algorithme suivant :

    Variables :

    a, b et m sont des nombres réels

    Initialisation :Affecter à a la valeur − 0,7
    Affecter à b la valeur − 0,6
    Traitement :TANT QUE b-a>0,001
    Affecter à m la valeur a+b2
    SI fm<0,5
    • ALORS Affecter à a la valeur m
    • SINON Affecter à b la valeur m
    FIN SI
    FIN TANT QUE
    Sortie :Afficher a
    Afficher b
    1. Faire fonctionner l'algorithme précédant en recopiant et complétant le tableau ci-dessous. On arrondira au millième les valeurs de fm.

      Initialisationa=-0,7b=-0,6
      b-ab-a>0,001mfmfm<0,5ab
      étape 10,1oui− 0,650,484oui− 0,65− 0,6
      étape 2
      étape 3
    2. Interpréter les résultats trouvés pour a et b à la fin de l'étape 3.

  3. On cherche une primitive F de la fonction f de la forme Fx=ax+be-0,5x avec a et b deux nombres réels.

    1. Montrer que a et b sont solutions du système d'équations suivant : {-0,5a=1a-0,5b=1

    2. Calculer a et b et donner l'expression de Fx.

  4. On note A l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine colorié sur le graphique.

    1. Déterminer la valeur exacte de A.

    2. En déduire la valeur arrondie à 0,01 cm2 près de l'aire, du domaine colorié sur le graphique.



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