bac blanc du 11 avril 2014

exercice 1

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

On considère les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ définis par $z_1=1-\mathrm{i}$ et $z_2={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}$

1. Déterminer une forme trigonométrique de $z_1$.

2. Déterminer l'écriture algébrique de $z_2$.

3. Soit $Z=z_1\times z_2$

   1. Déterminer l'écriture algébrique de Z.

   2. Déterminer une forme exponentielle de Z.

   3. En déduire la valeur exacte de $\cos \left({\displaystyle \frac{7\pi }{12}}\right)$ et de $\sin \left({\displaystyle \frac{7\pi }{12}}\right)$.

exercice 2

Le Phosphore 32 est un isotope radioactif du phosphore utilisé en médecine pour le traitement de certaines maladies.

partie a

On injecte à un patient une solution contenant $4\times {10}^{15}$ noyaux de Phosphore 32. On considère que le nombre de noyaux diminue chaque jour de 4,8 %.
On note $u_n$ le nombre de noyaux au bout de n jours. On a donc $u_0=4\times {10}^{15}$.

1. Calculer $u_1$ puis $u_2$.

2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$.

3. Exprimer $u_n$ en fonction de n.

4. Déterminer à partir de combien de jours le nombre de noyaux aura diminué au moins de moitié.

partie b

La variable aléatoire X égale à la durée de vie en jours d'un atome de Phosphore 32 avant désintégration suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda =\mathrm{0,0486}$.

1. Calculer $P\left(X>33\right)$.

2. La demi-vie d'une substance radioactive est la durée t nécessaire pour que, statistiquement, la moitié des noyaux radioactifs présents se désintègrent (c'est à dire la durée t tel que $P\left(X<t\right)=\mathrm{0,5}$).
   Calculer à 0,1 jour près la demi-vie du Phosphore 32.

exercice 3

Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à ${10}^{-3}$

Une entreprise fabrique en grande quantité des tubes en aluminium.
La longueur des tubes est exprimée en millimètres. Un tube est dit « conforme pour la longueur » lorsque celle-ci appartient à l'intervalle $\left[245;255\right]$.

partie a

Dans cette partie, on considère que 5 % des tubes ne sont pas conformes pour la longueur.
On prélève au hasard 50 tubes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 tubes.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 50 tubes, associe le nombre de tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur.

1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité $P\left(X=3\right)$. Interpréter le résultat.

3. Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement deux tubes au moins ne sont pas conformes pour la longueur.

partie b

On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque tube pris au hasard dans la production d'une journée, associe sa longueur.
On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne 250 et d'écart type 2,5.

1. Calculer la probabilité qu'un tube prélevé au hasard dans la production d'une journée soit conforme pour la longueur.

2. Le contrôle de conformité mis en place rejette les tubes dont la longueur est inférieure à 245 millimètres.
   Quelle est la probabilité pour qu'un tube prélevé au hasard dans la production d'une journée soit rejeté par le contrôle de conformité ?

exercice 4

La courbe $C_f$ tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal est la courbe représentative d'une fonction f définie sur $ℝ$.
La droite T est tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.

partie a

On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f. Par lecture graphique, déterminer $f\prime \left(0\right)$.

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=\left(x+1\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.

1. 1. Montrer que $f\prime \left(x\right)=\left(\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}x\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ et en déduire la valeur exacte du maximum de la fonction f.

2. Justifier que l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}$ admet une solution unique α dans l'intervalle $\left[-\mathrm{0,7};-\mathrm{0,6}\right]$.

3. On considère l'algorithme suivant :

   Variables :	a, b et m sont des nombres réels
   Initialisation :	Affecter à a la valeur − 0,7
   	Affecter à b la valeur − 0,6
   Traitement :	TANT QUE $b-a>\mathrm{0,001}$
   	Affecter à m la valeur ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$ SI $f\left(m\right)<\mathrm{0,5}$ ALORS Affecter à a la valeur m SINON Affecter à b la valeur m FIN SI
   	FIN TANT QUE
   Sortie :	Afficher a
   	Afficher b

   1. Faire fonctionner l'algorithme précédant en recopiant et complétant le tableau ci-dessous. On arrondira au millième les valeurs de $f\left(m\right)$.

      Initialisation						$a=-\mathrm{0,7}$	$b=-\mathrm{0,6}$
      	$b-a$	$b-a>\mathrm{0,001}$	m	$f\left(m\right)$	$f\left(m\right)<\mathrm{0,5}$	a	b
      étape 1	0,1	oui	− 0,65	0,484	oui	− 0,65	− 0,6
      étape 2
      étape 3

   2. Interpréter les résultats trouvés pour a et b à la fin de l'étape 3.

4. On cherche une primitive F de la fonction f de la forme $F\left(x\right)=\left(ax+b\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$ avec a et b deux nombres réels.

   1. Montrer que a et b sont solutions du système d'équations suivant : $\{\begin{array}{cc}\hfill -\mathrm{0,5}a& =& 1\\ \hfill a-\mathrm{0,5}b& =& 1\end{array}$

   2. Calculer a et b et donner l'expression de $F\left(x\right)$.

5. On note A l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine colorié sur le graphique.

   1. Déterminer la valeur exacte de A.

   2. En déduire la valeur arrondie à 0,01 cm² près de l'aire, du domaine colorié sur le graphique.

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