bac blanc du 11 avril 2014

Corrigé de l'exercice 2

Le Phosphore 32 est un isotope radioactif du phosphore utilisé en médecine pour le traitement de certaines maladies.

partie a

On injecte à un patient une solution contenant $4\times {10}^{15}$ noyaux de Phosphore 32. On considère que le nombre de noyaux diminue chaque jour de 4,8 %.
On note $u_n$ le nombre de noyaux au bout de n jours. On a donc $u_0=4\times {10}^{15}$.

1. Calculer $u_1$ puis $u_2$.

   $u_1=4\times {10}^{15}\times \left(1-{\displaystyle \frac{\mathrm{4,8}}{100}}\right)=4\times {10}^{15}\times \mathrm{0,952}=\mathrm{3,808}\times {10}^{15}$

   $u_2=\mathrm{3,808}\times {10}^{15}\times \mathrm{0,952}=\mathrm{3,625216}\times {10}^{15}$

   $u_1=\mathrm{3,808}\times {10}^{15}$ et $u_2=\mathrm{3,625216}\times {10}^{15}$.

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2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$.

   Pour tout entier n, $u_{n+1}=\mathrm{0,952}\times u_n$ donc $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,952.

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3. Exprimer $u_n$ en fonction de n.

   $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,952 et de premier terme $u_0=4\times {10}^{15}$ donc pour tout entier n, $u_n=4\times {10}^{15}\times {\mathrm{0,952}}^n$.

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4. Déterminer à partir de combien de jours le nombre de noyaux aura diminué au moins de moitié.

   Le nombre de noyaux aura diminué au moins de moitié à partir nombre de jours n, plus petit entier solution de l'inéquation :

   $$\begin{array}{llll}4\times {10}^{15}\times {\mathrm{0,952}}^n⩽2\times {10}^{15}& \iff & {\mathrm{0,952}}^n⩽\mathrm{0,5}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,952}}^n\right)⩽\ln \mathrm{0,5}& \text{La fonction logarithme est croissante}\\ & \iff & n\times \ln \mathrm{0,952}⩽\ln \mathrm{0,5}& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,5}}{\ln \mathrm{0,952}}}& \ln \left(\mathrm{0,952}\right)\text{ négatif}\end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,5}}{\ln \mathrm{0,952}}}\approx \mathrm{14,09}$ par conséquent :

   Au bout de 15 jours, le nombre de noyaux aura diminué au moins de moitié.

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partie b

La variable aléatoire X égale à la durée de vie en jours d'un atome de Phosphore 32 avant désintégration suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda =\mathrm{0,0486}$.

1. Calculer $P\left(X>33\right)$.

   $P\left(X>33\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0486}\times 33}\approx \mathrm{0,201}$

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2. La demi-vie d'une substance radioactive est la durée t nécessaire pour que, statistiquement, la moitié des noyaux radioactifs présents se désintègrent (c'est à dire la durée t tel que $P\left(X<t\right)=\mathrm{0,5}$).
   Calculer à 0,1 jour près la demi-vie du Phosphore 32.

   Comme $P\left(X<t\right)=1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0486}t}$, t est solution de l'équation $$\begin{array}{lll}1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0486}t}=\mathrm{0,5}& \iff & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0486}t}=\mathrm{0,5}\\ & \iff & -\mathrm{0,0486}t=\ln \mathrm{0,5}\\ & \iff & t=-{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,5}}{\mathrm{0,0486}}}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{0,0486}}}\approx \mathrm{14,262}\end{array}$$

   La demi-vie du Phosphore 32 est d'environ 14,3 jours.

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