contrôles en terminale STI2D

bac blanc du 11 avril 2014

Corrigé de l'exercice 3

Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 10-3

Une entreprise fabrique en grande quantité des tubes en aluminium.
La longueur des tubes est exprimée en millimètres. Un tube est dit « conforme pour la longueur » lorsque celle-ci appartient à l'intervalle [245;255].

partie a

Dans cette partie, on considère que 5 % des tubes ne sont pas conformes pour la longueur.
On prélève au hasard 50 tubes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 tubes.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 50 tubes, associe le nombre de tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur.

  1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

    Le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise de 50 tubes donc X suit la loi binomiale de paramètres 50 et 0,05.


  2. Calculer la probabilité P(X=3). Interpréter le résultat.

    p(X=3)=(503)×0,053×(1-0,05)470,22

    Arrondie au millième près, la probabilité que dans un lot de 50 tubes on trouve trois tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur est 0,22.


  3. Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement deux tubes au moins ne sont pas conformes pour la longueur.

    Dans le cas d'une loi binomiale, la calculatrice permet d'obtenir la probabilité p(Xk)

    L'évènement « deux tubes au moins ne sont pas conformes pour la longueur » est l'évènement contraire de l'évènement « au plus un tube n'est pas conforme pour la longueur ». D'où p(X2)=1-p(X1)0,721

    Arrondie au millième près, la probabilité que dans un lot de 50 tubes on trouve plus de deux tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur est 0,721.


partie b

On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque tube pris au hasard dans la production d'une journée, associe sa longueur.
On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne 250 et d'écart type 2,5.

  1. Calculer la probabilité qu'un tube prélevé au hasard dans la production d'une journée soit conforme pour la longueur.

    Un tube est conforme pour la longueur lorsque celle-ci appartient à l'intervalle [245;255]. À l'aide de la calculatrice, on obtient : P(245Y255)0,954

    Arrondie au millième près, la probabilité qu'un tube prélevé au hasard dans la production d'une journée soit conforme pour la longueur est 0,954.


  2. Le contrôle de conformité mis en place rejette les tubes dont la longueur est inférieure à 245 millimètres.
    Quelle est la probabilité pour qu'un tube prélevé au hasard dans la production d'une journée soit rejeté par le contrôle de conformité ?

    P(X<245)=0,5-P(245X250)0,023

    Arrondie au millième près, la probabilité qu'un tube soit rejeté par le contrôle de conformité est 0,023.



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