contrôle du 06 novembre 2014

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=2x^2-5x-3$.

1. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$.

   Étudions le signe du polynôme du second degré $f\left(x\right)=2x^2-5x-3$ avec $a=2$, $b=-5$ et $c=-3$.

   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-5\right)}^2-4\times 2\times \left(-3\right)=49\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{5-7}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{5+7}{4}}=3\end{array}$$

   Nous pouvons déduire le tableau du signe du trinôme $f\left(x\right)=2x^2-5x-3$ avec $a=2$ :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$		3		$+\infty$
   $f\left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

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   L'ensemble solution de l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$ est l'intervalle $I=\left[-{\displaystyle \frac{1}{2}};3\right]$

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2. Soit g la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=\left|f\left(x\right)\right|$. Exprimer $g\left(x\right)$ en fonction du réel x.

   Si $f\left(x\right)⩽0$ alors $\left|f\left(x\right)\right|=-f\left(x\right)$. Si $f\left(x\right)⩾0$ alors $\left|f\left(x\right)\right|=f\left(x\right)$.

   g est la fonction définie sur $ℝ$ par $\{\begin{array}{ccc}g\left(x\right)=-2x^2+5x+3& \text{si}& x\in \left[-{\displaystyle \frac{1}{2}};3\right]\\ g\left(x\right)=2x^2-5x-3& \text{si}& x\notin \left[-{\displaystyle \frac{1}{2}};3\right]\end{array}$

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