contrôle du 06 novembre 2014

Corrigé de l'exercice 4

Résoudre les équations suivantes dans l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$.

1. $\cos x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

   Sur l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ :$$\begin{array}{ccc}\cos x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& \iff & \{\begin{array}{c}\cos x=\cos \left({\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\right)\\ \cos x=\cos \left(-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\right)\end{array}\hfill \end{array}$$

   Les solutions de l'équation $\cos x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ sont $x=-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$ ou $x={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$.

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2. $1+2\sin x=0$

   $1+2\sin x=0\iff \sin x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Sur l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ :$$\begin{array}{ccc}\sin x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & \{\begin{array}{c}\sin x=\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\\ \sin x=\sin \left(-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\right)\end{array}\hfill \end{array}$$

   Les solutions de l'équation $1+2\sin x=0$ sont $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ ou $x=-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$.

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3. $\cos x+\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}=0$.

   Sur l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ :$$\begin{array}{ccccc}\cos x+\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}=0& \iff & \cos x=-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}& \iff & \{\begin{array}{l}x=\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{5}}={\displaystyle \frac{4\pi }{5}}\\ x={\displaystyle \frac{\pi }{5}}-\pi =-{\displaystyle \frac{4\pi }{5}}\end{array}\hfill \end{array}$$

   Les solutions de l'équation $\cos x+\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}=0$ sont $x=-{\displaystyle \frac{4\pi }{5}}$ ou $x={\displaystyle \frac{4\pi }{5}}$.

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4. $\sin x-\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}=0$

   Sur l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ :$$\begin{array}{ccccc}\sin x-\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}=0& \iff & \sin x=\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}& \iff & \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\\ x=\pi -{\displaystyle \frac{5\pi }{12}}={\displaystyle \frac{7\pi }{12}}\end{array}\hfill \end{array}$$

   Les solutions de l'équation $\sin x-\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}=0$ sont $x={\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$ ou $x={\displaystyle \frac{7\pi }{12}}$.

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