${\displaystyle \frac{2}{15}}$

${\displaystyle \frac{2}{5}}$

${\displaystyle \frac{8}{23}}$

Question 2

Une loi de probabilité d'espérance μ, de variance V et d'écart type σ est définie par le tableau ci-dessous.

On a alors : (Voir les définitions.)Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques $x_i$.
L'espérance mathématique de cette loi est le nombre notéμ :$$\mu =x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}$$ La variance de la loi de probabilité est le nombre noté V : $$V=p_1{\left(x_1-\mu \right)}^2+p_2{\left(x_2-\mu \right)}^2+\cdots +p_n{\left(x_n-\mu \right)}^2={\displaystyle \sum _{i=1}^n{p}_i{\left(x_i-\mu \right)}^2}$$L'écart type est la racine carrée de la variance :$$\sigma =\sqrt{V}$$

$\mu =1\times \mathrm{0,2}+2\times \mathrm{0,4}+3\times \mathrm{0,1}+4\times \mathrm{0,3}=\mathrm{2,5}$

$V=\mathrm{0,2}\times {\left(1-\mathrm{2,5}\right)}^2+\mathrm{0,4}\times {\left(2-\mathrm{2,5}\right)}^2+\mathrm{0,4}\times {\left(3-\mathrm{2,5}\right)}^2+\mathrm{0,3}\times {\left(4-\mathrm{2,5}\right)}^2=\mathrm{1,25}={\displaystyle \frac{5}{4}}$

$\sigma =\sqrt{{\displaystyle \frac{5}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$

$V={\displaystyle \frac{5}{4}}$

$\mu =2$

$\sigma ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}}$

Question 3

Soient C et D deux événements indépendants.

On donne : $p\left(C\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ et $p\left(D\right)={\displaystyle \frac{1}{12}}$

On a alors : (Voir la définition.)On considère deux évènements A et B de probabilités non nulles.
Dire que les deux évènements A, B sont indépendants signifie que $p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right)$.

C et D sont deux événements indépendants d'où :

1. $p\left(C\cap D\right)=p\left(C\right)\times p\left(D\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{1}{36}}$
2. $p_D\left(C\right)={\displaystyle \frac{p\left(C\cap D\right)}{p\left(D\right)}}={\displaystyle \frac{p\left(C\right)\times p\left(D\right)}{p\left(D\right)}}=p\left(C\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$

D'autre part :

$p\left(C\cup D\right)=p\left(C\right)+p\left(D\right)-p\left(C\cap D\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}-{\displaystyle \frac{1}{36}}={\displaystyle \frac{7}{18}}$

$p\left(D\cap C\right)={\displaystyle \frac{5}{12}}$

$p\left(C\cup D\right)={\displaystyle \frac{7}{18}}$

$p_D\left(C\right)={\displaystyle \frac{1}{36}}$

Question 4

On lance une pièce de monnaie équilibrée quatre fois de suite.
La probabilité d'obtenir au moins une fois pile est :

Lancer une pièce de monnaie équilibrée est une épreuve de Bernoulli dont les deux issues, pile (succès) ou face (échec) ont la même probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Lancer une pièce de monnaie équilibrée quatre fois de suite est la répétition de quatre épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de succès est une loi binomiale de paramètres 4 et ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

L'événement "obtenir au moins une fois pile" est l'événement contraire de l'événement "obtenir face quatre fois de suite".

Or la probabilité d'obtenir quatre échecs consécutifs est: ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4={\displaystyle \frac{1}{16}}$.

Par conséquent la probabilité d'obtenir au moins une fois pile est : $1-{\displaystyle \frac{1}{16}}={\displaystyle \frac{15}{16}}$.

${\displaystyle \frac{1}{4}}$

${\displaystyle \frac{15}{16}}$

${\displaystyle \frac{1}{16}}$

Question 5

Une expérience aléatoire est représentée par l'arbre ci-dessous où, A et B sont deux événements, $\overline{A}$ et $\overline{B}$ leurs événements contraires. Alors on a :

On complète l'arbre pondéré en utilisant la règle des nœuds.Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.

Soit :
$p\left(\overline{A}\right)=1-p\left(A\right)=1-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}$
et $p_A\left(B\right)=1-p_A\left(\overline{B}\right)=1-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}$

D'où :

$p\left(\overline{A}\cap B\right)=p_{\overline{A}}\left(B\right)\times p\left(\overline{A}\right)=\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,8}=\mathrm{0,08}$

Pour calculer la probablité de l'événement B on utilise la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$

$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$.

Or $p\left(A\cap B\right)=p_A\left(B\right)\times p\left(A\right)=\mathrm{0,7}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,14}$.

Ansi $p\left(B\right)=\mathrm{0,14}+\mathrm{0,08}=\mathrm{0,22}$.

Remarque :
$p_B\left(A\right)={\displaystyle \frac{p\left(A\cap B\right)}{p\left(B\right)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,08}}{\mathrm{0,22}}}={\displaystyle \frac{4}{11}}$

$p\left(B\right)=\mathrm{0,22}$

$p\left(\overline{A}\cap B\right)=\mathrm{0,8}$

$p_B\left(A\right)=\mathrm{0,7}$