Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Antilles-Guyane

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples ; pour chacune des cinq questions, une et une seule affirmation est exacte. Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la bonne affirmation sans justifier votre choix.

BARÈME :
Une bonne réponse rapporte 1 point ; une mauvaise réponse enlève 0,5 point.
L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
Si le total de points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

Question 1

Ce tableau incomplet donne les résultats d'un sondage dans une population de 60 personnes.

CadresEmployés
Hommes25
Femmes815

On interroge une personne au hasard ;
la probabilité que ce soit une femme sachant que c'est un cadre est :

215

25

823

 

Question 2

Une loi de probabilité d'espérance μ, de variance V et d'écart type σ est définie par le tableau ci-dessous.

x i1234
p i0,20,40,10,3

On a alors :

V=54

μ=2

σ=54

 

Question 3

Soient C et D deux événements indépendants.

On donne : pC=13 et pD=112

On a alors :

p(DC)=512

p(CD)=718

pDC=136

 

Question 4

On lance une pièce de monnaie équilibrée quatre fois de suite.
La probabilité d'obtenir au moins une fois pile est :

14

1516

116

 

Question 5

Une expérience aléatoire est représentée par l'arbre ci-dessous où, A et B sont deux événements, A¯ et B¯ leurs événements contraires.

Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Alors on a :

pB=0,22

p(A¯B)=0,8

pBA=0,7


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Soit f une fonction dont le tableau de variations, incomplet est le suivant ; on désigne par f la fonction dérivée de la fonction f.

x - -3 -1 1 +
Signe de fx + 0||   0|| +
Variations de f

− ∞

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

− 6

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

+

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

2

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On admet que f est définie sur ]-;-1[]-1;+[ par fx=ax+b+cx+1 : où a, b et c sont des réels.

  1. Calculer fx en fonction de a, b et c.

  2. En vous aidant des informations contenues dans le tableau de variations ci-dessus, montrer que l'on a : a=1, b=-1, c=4.

  3. Déterminer les limites manquantes dans le tableau de variations fourni.

  4. Montrer que la courbe représentative 𝒞f de la fonction f admet comme asymptote la droite D d'équation y=x-1, lorsque x tend vers + ∞ ou vers − ∞.
    Étudier la position relative de la courbe 𝒞f et de son asymptote D.

  5. Déterminer la valeur exacte de 12[fx-(x-1)]dx et interpréter le résultat en terme d'aire.


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans une zone de marais on s'intéresse à la population des libellules. On note P0 la population initiale et Pn la population au bout de n années.

Des études ont permis de modéliser l'évolution de Pn par la relation :
(R) Pour tout entier naturel n on a : Pn+2-Pn+1=12(Pn+1-Pn) .

On suppose que P0=40 000 et P1=60 000.

On définit l'accroissement de la population pendant la n-ième année par la différence PnPn1 .

  1. Calculer l'accroissement de la population pendant la première année, la deuxième année, la troisième année, puis en déduire P2 et P3.

  2. On considère les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturel n par : Un=Pn+1Pn et Vn=Pn+112Pn

    1. Prouver que la suite (Un) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
      Exprimer Un en fonction de n.

    2. En utilisant la relation (R), calculer Vn+1Vn.
      En déduire que, pour tout n , on a : Vn=P112P0
      Calculer Vn.

    3. Démontrer que, pour tout entier naturel n , on a Pn=2(VnUn).
      En déduire une expression de Pn en fonction de n .

    4. Montrer que la suite (Pn) converge et calculer sa limite.
      Que peut-on en déduire en ce qui concerne l'évolution de cette population au bout d'un nombre d'années suffisamment grand?


exercice 3 ( 10 points ) commun à tous les candidats

Une entreprise a noté les valeurs du coût total de production Cx d'un engrais en fonction de la masse x produite.
Le tableau ci-dessous donne les valeurs xi de masse d'engrais produite et celles des coûts totaux de production correspondants pour i entier variant de 1 à 5.

xi en tonnes1012141618
yi en centaines d'euros100110145196308

Partie A

  1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique xiyi dans un repère orthogonal (unités graphiques : 0,5 cm pour une tonne sur l'axe des abscisses et 0,05 cm pour une centaine d'euros sur l'axe des ordonnées.)

  2. On recherche une fonction définie sur l'intervalle 1018 dont la courbe représentative « ajuste» de façon acceptable le nuage de points.
    Une fonction f est dite « acceptée» si, pour les cinq valeurs xi du tableau, on a : -10fxi-Cxi10.

    1. Soit f la fonction définie sur 1018 par : fx=80+e0,3x.
      Recopier et compléter le tableau ci-dessous (les valeurs sont arrondies à 10-2).
      La fonction f est-elle « acceptée » ?

      xi1012141618
      fxi     
      fxi-Cxi     
    2. Étudier les variations de f sur 1018 et tracer la courbe représentative de la fonction f dans le repère précédent.

Partie B : Étude d'une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur l'intervalle 1018 par : gx=(0,3x-1)e0,3x-80.

  1. On désigne par g la fonction dérivée de g.
    Montrer que, pour tout x de 1018, on a : gx=0,09xe0,3x .
    En déduire le sens de variations de g sur 1018.

  2. Établir le tableau de variations de g sur l'intervalle 1018.

  3. Montrer que l'équation gx=0 admet une unique solution α sur 1018 et donner un encadrement de α à 10-1.
    En déduire le signe de gx sur 1018.

Partie C

Le coût moyen de production d'une tonne en fonction de la masse x produite est exprimé en centaines d'euros par Cmx=fxxf est la fonction étudiée dans la partie A et x[10;18] .

  1. On désigne par Cm la fonction dérivée de la fonction Cm.
    Calculer Cmx pour x appartenant à l'intervalle 1018.

  2. Déduire à l'aide de la partie B le sens de variations de la fonction Cm sur l'intervalle 1018.

  3. Pour quelle production, en tonnes, a-t-on un coût moyen minimal?
    Quel est ce coût à un euro près par défaut?



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✉ A.Yallouz

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