Cet exercice est un questionnaire à choix multiples ; pour chacune des cinq questions, une et une seule affirmation est exacte. Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la bonne affirmation sans justifier votre choix.
BARÈME :
Une bonne réponse rapporte 1 point ; une mauvaise réponse enlève 0,5 point.
L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
Si le total de points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.
Question 1Ce tableau incomplet donne les résultats d'un sondage dans une population de 60 personnes.
On interroge une personne au hasard ; | |||||||||||||
Question 2Une loi de probabilité d'espérance μ, de variance V et d'écart type σ est définie par le tableau ci-dessous.
On a alors : | |||||||||||||
Question 3Soient C et D deux événements indépendants. On donne : et On a alors : | |||||||||||||
Question 4On lance une pièce de monnaie équilibrée quatre fois de suite. | |||||||||||||
Question 5Une expérience aléatoire est représentée par l'arbre ci-dessous où, A et B sont deux événements, et leurs événements contraires. Alors on a : |
Soit f une fonction dont le tableau de variations, incomplet est le suivant ; on désigne par la fonction dérivée de la fonction f.
x | 1 | ||||||||||
Signe de | + | − | − | + | |||||||
Variations de f | − 6 | … | 2 | … |
On admet que f est définie sur par : où a, b et c sont des réels.
Calculer en fonction de a, b et c.
En vous aidant des informations contenues dans le tableau de variations ci-dessus, montrer que l'on a : , , .
Déterminer les limites manquantes dans le tableau de variations fourni.
Montrer que la courbe représentative de la fonction f admet comme asymptote la droite D d'équation , lorsque x tend vers ou vers .
Étudier la position relative de la courbe et de son asymptote D.
Déterminer la valeur exacte de et interpréter le résultat en terme d'aire.
Dans une zone de marais on s'intéresse à la population des libellules. On note la population initiale et la population au bout de n années.
Des études ont permis de modéliser l'évolution de par la relation :
(R) Pour tout entier naturel n on a : .
On suppose que et .
On définit l'accroissement de la population pendant la n-ième année par la différence .
Calculer l'accroissement de la population pendant la première année, la deuxième année, la troisième année, puis en déduire et .
On considère les suites et définies pour tout entier naturel n par : et
Prouver que la suite est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
Exprimer en fonction de n.
En utilisant la relation (R), calculer .
En déduire que, pour tout n , on a :
Calculer .
Démontrer que, pour tout entier naturel n , on a .
En déduire une expression de en fonction de n .
Montrer que la suite converge et calculer sa limite.
Que peut-on en déduire en ce qui concerne l'évolution de cette population au bout d'un nombre d'années suffisamment grand?
Une entreprise a noté les valeurs du coût total de production d'un engrais en fonction de la masse x produite.
Le tableau ci-dessous donne les valeurs de masse d'engrais produite et celles des coûts totaux de production correspondants pour i entier variant de 1 à 5.
en tonnes | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
en centaines d'euros | 100 | 110 | 145 | 196 | 308 |
Représenter le nuage de points associé à la série statistique dans un repère orthogonal (unités graphiques : 0,5 cm pour une tonne sur l'axe des abscisses et 0,05 cm pour une centaine d'euros sur l'axe des ordonnées.)
On recherche une fonction définie sur l'intervalle dont la courbe représentative « ajuste» de façon acceptable le nuage de points.
Une fonction f est dite « acceptée» si, pour les cinq valeurs du tableau, on a : .
Soit f la fonction définie sur par : .
Recopier et compléter le tableau ci-dessous (les valeurs sont arrondies à 10-2).
La fonction f est-elle « acceptée » ?
10 | 12 | 14 | 16 | 18 | |
Étudier les variations de f sur et tracer la courbe représentative de la fonction f dans le repère précédent.
Soit g la fonction définie sur l'intervalle par : .
On désigne par la fonction dérivée de g.
Montrer que, pour tout x de , on a : .
En déduire le sens de variations de g sur .
Établir le tableau de variations de g sur l'intervalle .
Montrer que l'équation admet une unique solution α sur et donner un encadrement de α à 10-1.
En déduire le signe de sur .
Le coût moyen de production d'une tonne en fonction de la masse x produite est exprimé en centaines d'euros par où f est la fonction étudiée dans la partie A et .
On désigne par la fonction dérivée de la fonction .
Calculer pour x appartenant à l'intervalle .
Déduire à l'aide de la partie B le sens de variations de la fonction sur l'intervalle .
Pour quelle production, en tonnes, a-t-on un coût moyen minimal?
Quel est ce coût à un euro près par défaut?
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