Une entreprise a noté les valeurs du coût total de production d'un engrais en fonction de la masse x produite.
Le tableau ci-dessous donne les valeurs de masse d'engrais produite et celles des coûts totaux de production correspondants pour i entier variant de 1 à 5.
en tonnes | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
en centaines d'euros | 100 | 110 | 145 | 196 | 308 |
Représenter le nuage de points associé à la série statistique dans un repère orthogonal (unités graphiques : 0,5 cm pour une tonne sur l'axe des abscisses et 0,05 cm pour une centaine d'euros sur l'axe des ordonnées.)
On recherche une fonction définie sur l'intervalle dont la courbe représentative « ajuste » de façon acceptable le nuage de points.
Une fonction f est dite « acceptée » si, pour les cinq valeurs du tableau, on a : .
Soit f la fonction définie sur par : .
Recopier et compléter le tableau ci-dessous (les valeurs sont arrondies à 10-2).
La fonction f est-elle « acceptée » ?
10 | 12 | 14 | 16 | 18 | |
Étudier les variations de f sur et tracer la courbe représentative de la fonction f dans le repère précédent.
Utiliser le théorème :
Soit u une fonction définie sur un intervalle I, u et ont les mêmes variations sur I.
Soit g la fonction définie sur l'intervalle par : .
On désigne par la fonction dérivée de g.
Montrer que, pour tout x de , on a : .
En déduire le sens de variations de g sur .
Dérivée de
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction est dérivable sur I et pour tout réel x de I, .
Établir le tableau de variation de g sur l'intervalle .
Montrer que l'équation admet une unique solution α sur et donner un encadrement de α à 10-1.
En déduire le signe de sur .
Théorème des valeurs intermédiaires :
Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l'équation admet une solution unique.
Le coût moyen de production d'une tonne en fonction de la masse x produite est exprimé en centaines d'euros par : où f est la fonction étudiée dans la partie A et .
On désigne par la fonction dérivée de la fonction .
Calculer pour x appartenant à l'intervalle .
Déduire à l'aide de la partie B le sens de variation de la fonction sur l'intervalle .
Pour quelle production, en tonnes, a-t-on un coût moyen minimal?
Quel est ce coût à un euro près par défaut?
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