Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles-Guyane

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une entreprise a noté les valeurs du coût total de production C(x) d'un engrais en fonction de la masse x produite.
Le tableau ci-dessous donne les valeurs xi de masse d'engrais produite et celles des coûts totaux de production correspondants pour i entier variant de 1 à 5.

xi en tonnes1012141618
yi en centaines d'euros100110145196308

Partie A

  1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique (xi;yi) dans un repère orthogonal (unités graphiques : 0,5 cm pour une tonne sur l'axe des abscisses et 0,05 cm pour une centaine d'euros sur l'axe des ordonnées.)

  2. On recherche une fonction définie sur l'intervalle [10;18] dont la courbe représentative « ajuste » de façon acceptable le nuage de points.
    Une fonction f est dite « acceptée » si, pour les cinq valeurs xi du tableau, on a : -10f(xi)-C(xi)10.

    1. Soit f la fonction définie sur [10;18] par : f(x)=80+e0,3x.
      Recopier et compléter le tableau ci-dessous (les valeurs sont arrondies à 10-2).
      La fonction f est-elle « acceptée » ?

      xi1012141618
      f(xi)
      f(xi)-C(xi)
    2. Étudier les variations de f sur [10;18] et tracer la courbe représentative de la fonction f dans le repère précédent.

      Utiliser le théorème :

      Soit u une fonction définie sur un intervalle I, u et eu ont les mêmes variations sur I.


Partie B : Étude d'une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur l'intervalle [10;18] par : g(x)=(0,3x-1)e0,3x-80.

  1. On désigne par g la fonction dérivée de g.
    Montrer que, pour tout x de [10;18], on a : g(x)=0,09xe0,3x .
    En déduire le sens de variations de g sur [10;18].

    Dérivée de eu

    Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction f:xeu(x) est dérivable sur I et pour tout réel x de I, f(x)=eu(x)×u(x).

  2. Établir le tableau de variation de g sur l'intervalle [10;18].

  3. Montrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution α sur [10;18] et donner un encadrement de α à 10-1.
    En déduire le signe de g(x) sur [10;18].

    Théorème des valeurs intermédiaires :

    Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l'équation f(x)=k admet une solution unique.

Partie C

Le coût moyen de production d'une tonne en fonction de la masse x produite est exprimé en centaines d'euros par : Cm(x)=f(x)xf est la fonction étudiée dans la partie A et x[10;18] .

  1. On désigne par Cm la fonction dérivée de la fonction Cm.
    Calculer Cm(x) pour x appartenant à l'intervalle [10;18].

  2. Déduire à l'aide de la partie B le sens de variation de la fonction Cm sur l'intervalle [10;18].

    Cm(x)=g(x)x2

  3. Pour quelle production, en tonnes, a-t-on un coût moyen minimal?
    Quel est ce coût à un euro près par défaut?

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