Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles-Guyane

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Soit f une fonction dont le tableau de variations, incomplet est le suivant ; on désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction f.

x	$- \infty$		$- 3$		$- 1$			1		$+ \infty$
Signe de $f' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−			−	$0_{\|}^{\|}$	+
Variations de f	$- \infty$		− 6		…	$+ \infty$		2		…

On admet que f est définie sur $] - \infty; - 1 [\cup] - 1; + \infty [$ par $f (x) = a x + b + \frac{c}{x + 1}$ : où a, b et c sont des réels.

Calculer $f' (x)$ en fonction de a, b et c.
Pas de panique : a, b et c sont des nombres réels.
En vous aidant des informations contenues dans le tableau de variations ci-dessus, montrer que l'on a : $a = 1$ , $b = - 1$ , $c = 4$ .
$f (- 3) = - 6$ , $f (1) = 2$ et $f' (- 3) = f' (1) = 0$ .
Déterminer les limites manquantes dans le tableau de variations fourni.
Montrer que la courbe représentative $𝒞_{f}$ de la fonction f admet comme asymptote la droite D d'équation $y = x - 1$ , lorsque x tend vers $+ \infty$ ou vers $- \infty$ .
Étudier la position relative de la courbe $𝒞_{f}$ et de son asymptote D.
Étudier $\lim_{x \to \pm \infty} f (x) - (x - 1)$
Déterminer la valeur exacte de $\int_{1}^{2} [f (x) - (x - 1)] d x$ et interpréter le résultat en terme d'aire.
$\int_{1}^{2} [f (x) - (x - 1)] d x = \int_{1}^{2} \frac{4}{x + 1} d x$

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