sujet : Antilles-Guyane

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Partie A

1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$ dans un repère orthogonal.

2. On recherche une fonction définie sur l'intervalle $\left[10;18\right]$ dont la courbe représentative « ajuste » de façon acceptable le nuage de points.
   Une fonction f est dite « acceptée » si, pour les cinq valeurs $x_i$ du tableau, on a : $-10⩽f\left(x_i\right)-C\left(x_i\right)⩽10$.

   1. Soit f la fonction définie sur $\left[10;18\right]$ par : $f\left(x\right)=80+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}$. Recopier et compléter le tableau ci-dessous (les valeurs sont arrondies à 10^-2). La fonction f est-elle « acceptée » ?

      $x_i$	10	12	14	16	18
      $f\left(x_i\right)$	100,09	116,6	146,69	201,51	301,41
      $f\left(x_i\right)-C\left(x_i\right)$	0,09	6,6	1,69	5,51	-6,59

      ---

      Toutes les valeurs de $f\left(x_i\right)-C\left(x_i\right)$ sont comprises dans l'intervalle $\left[-10;10\right]$ donc la fonction f est « acceptée ».

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   2. Étudier les variations de f sur $\left[10;18\right]$ et tracer la courbe représentative de la fonction f dans le repère précédent.

      Soit u la fonction définie sur $\left[10;18\right]$ par : $u\left(x\right)=\mathrm{0,3}x$, alors les fonctions u et ${\mathrm{e}}^u$ ont les mêmes variations sur l'intervalle $\left[10;18\right]$. (Voir le théorème)Soit u une fonction définie sur un intervalle I, u et ${\mathrm{e}}^u$ ont les mêmes variations sur I.

      La fonction u étant strictement croissante sur l'intervalle $\left[10;18\right]$, la fonction $x\mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}$ est strictement croissante.

      Donc la fonction f définie sur $\left[10;18\right]$ par $f\left(x\right)=80+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}$, est strictement croissante.

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Partie B : Étude d'une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur l'intervalle $\left[10;18\right]$ par : $g\left(x\right)=\left(\mathrm{0,3}x-1\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}-80$.

1. On désigne par $g\prime$ la fonction dérivée de g. Montrer que, pour tout x de $\left[10;18\right]$, on a : $g\prime \left(x\right)=\mathrm{0,09}x{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}$. En déduire le sens de variations de g sur $\left[10;18\right]$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[10;18\right]$, posons $u\left(x\right)=\left(\mathrm{0,3}x-1\right)$ et $v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}$ alors, $g\prime \left(x\right)=u\prime \left(x\right)\times v\left(x\right)+u\left(x\right)\times v\prime \left(x\right)-0$ avec $u\prime \left(x\right)=\mathrm{0,3}$ et $v\prime \left(x\right)=\mathrm{0,3}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}$(Voir la dérivée de ${\mathrm{e}}^u$)Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction $f:x\to {\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$ est dérivable sur I et pour tout réel x de I, $f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}\times u\prime \left(x\right)$.

   Soit $$g\prime \left(x\right)=\mathrm{0,3}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}+\left(\mathrm{0,3}x-1\right)\times \mathrm{0,3}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}=\mathrm{0,3}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}+\mathrm{0,09}x{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}-\mathrm{0,3}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}=\mathrm{0,09}x{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}$$

   Ainsi, $g\prime$ est la fonction définie sur $\left[10;18\right]$ par $g\prime \left(x\right)=\mathrm{0,09}x{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}$.

   ---

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[10;18\right]$, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}>0$ d'où pour tout réel x de l'intervalle $\left[10;18\right]$, $g\prime \left(x\right)>0$. Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée :

   La fonction g est strictement croissante sur l'intervalle $\left[10;18\right]$.

   ---

2. Établir le tableau de variations de g sur l'intervalle $\left[10;18\right]$.

   x	10		18
   Signe de $g\prime$	+
   Variations de g	$3{\mathrm{e}}^3-80$		$\mathrm{4,4}{\mathrm{e}}^{\mathrm{5,4}}-80$

3. Montrer que l'équation $g\left(x\right)=0$ admet une unique solution α sur $\left[10;18\right]$ et donner un encadrement de α à 10^-1.
   En déduire le signe de $g\left(x\right)$ sur $\left[10;18\right]$.

   • Sur l'intervalle $\left[10;18\right]$, la fonction g est continue et strictement croissante. En outre $g\left(10\right)=3{\mathrm{e}}^3-80\approx -\mathrm{39,83}$ et $g\left(18\right)=\mathrm{4,4}{\mathrm{e}}^{\mathrm{5,4}}-80\approx \mathrm{894,19}$, donc $0\in [g\left(10\right);g\left(18\right)]$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique.

     L'équation $g\left(x\right)=0$ admet une solution unique α dans l'intervalle $\left[10;18\right]$.

     ---

   • Encadrement de α d'amplitude 10^-1

     D'après ce qui précède $\alpha \in [10;18]$. Or $g\left(\mathrm{11,5}\right)\approx -\mathrm{2,82}$ et $g\left(\mathrm{11,6}\right)\approx \mathrm{0,5}$.

     Sur l'intervalle $\left[\mathrm{11,5};\mathrm{11,6}\right]$, g est continue, strictement croissante et $0\in [g\left(\mathrm{11,5}\right);g\left(\mathrm{11,6}\right)]$

     Donc la solution α appartient à l'intervalle $\left[\mathrm{11,5};\mathrm{11,6}\right]$ d'amplitude 10^-1.

     ---

   • Signe de $g\left(x\right)$ sur $\left[10;18\right]$.

     La fonction g est strictement croissante sur l'intervalle $\left[10;18\right]$ et $\alpha \in [10;18]$, alors $x<\alpha \iff g\left(x\right)<g\left(\alpha \right)$ et comme $g\left(\alpha \right)=0$ :

     Donc $\{\begin{array}{c}\text{si }x<\alpha \text{ alors }g(x)<0\\ \text{si }x>\alpha \text{ alors }g(x)>0\end{array}$

     ---

Partie C

Le coût moyen de production d'une tonne en fonction de la masse x produite est exprimé en centaines d'euros par : $C_m\left(x\right)={\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x}}$ où f est la fonction étudiée dans la partie A et $x\in \left[10;18\right]$ .

1. On désigne par ${C\prime }_m$ la fonction dérivée de la fonction $C_m$. Calculer ${C\prime }_m\left(x\right)$ pour x appartenant à l'intervalle $\left[10;18\right]$.

   $C_m$ est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $C_m={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où ${C\prime }_m={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[10;18\right]$ : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=f\left(x\right)& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=\mathrm{0,3}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=1\end{array}$

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[10;18\right]$, $$\begin{array}{ccc}{C\prime }_m\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}x{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}-\left(80+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}\right)}{x^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}x{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}-80-{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}}{x^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{\left(\mathrm{0,3}x-1\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}-80}{x^2}}\hfill \end{array}$$

   ${C\prime }_m$ est la fonction définie pour x appartenant à l'intervalle $\left[10;18\right]$ par ${C\prime }_m\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(\mathrm{0,3}x-1\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}x}-80}{x^2}}$

   ---

2. Déduire à l'aide de la partie B le sens de variation de la fonction $C_m$ sur l'intervalle $\left[10;18\right]$.

   ${C\prime }_m\left(x\right)={\displaystyle \frac{g\left(x\right)}{x^2}}$, alors ${C\prime }_m$ et $g\prime$ sont de même signe sur l'intervalle $\left[10;18\right]$. D'où le tableau des variations de la fonction $C_m$.

   x	10		α		18
   Signe de ${C\prime }_m$		–	0	+
   Variations de $C_m$	$\mathrm{0,1}{\mathrm{e}}^3+8$		$C_m\left(\alpha \right)$		${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{5,4}}+80}{18}}$

3. Pour quelle production, en tonnes, a-t-on un coût moyen minimal ? Quel est ce coût à un euro près par défaut ?

   D'après l'étude des variations de la fonction $C_m$, le coût moyen est minimal pour une production de α tonnes.

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   Le coût moyen minimal exprimé en centaines d'euros est : $$C_m\left(\alpha \right)={\displaystyle \frac{f(\alpha )}{\alpha }}={\displaystyle \frac{80+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}\alpha }}{\alpha }}$$

   La question 3 de la partie B nous donne un encadrement d'amplitude 10^-1 de α.

   Comme la fonction $C_m$ n'est pas monotone sur l'intervalle $\left[\mathrm{11,5};\mathrm{11,6}\right]$ on en déduit que, si $\mathrm{11,5}<\alpha <\mathrm{11,6}$ alors $C_m\left(\alpha \right)<C_m\left(\mathrm{11,5}\right)<\mathrm{9,696}$ et $C_m\left(\alpha \right)<C_m\left(\mathrm{11,6}\right)<\mathrm{9,695}$. Soit $C_m\left(\alpha \right)<\mathrm{9,695}$.

   Cherchons un encadrement de $C_m\left(\alpha \right)$ : $$\begin{array}{lll}\mathrm{11,5}<\alpha <\mathrm{11,6}& \iff & \mathrm{3,45}<\mathrm{0,3}\alpha <\mathrm{3,48}\\ & \iff & {\mathrm{e}}^{\mathrm{3,45}}<{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}\alpha }<{\mathrm{e}}^{\mathrm{3,48}}\\ & \iff & 80+{\mathrm{e}}^{\mathrm{3,45}}<80+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}\alpha }<80+{\mathrm{e}}^{\mathrm{3,48}}\end{array}$$

   D'autre part : $$\mathrm{11,5}<\alpha <\mathrm{11,6}\iff {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{11,6}}}<{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}<{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{11,5}}}$$

   Par conséquent : $$\begin{array}{ccccc}\mathrm{11,5}<\alpha <\mathrm{11,6}& \iff & {\displaystyle \frac{80+{\mathrm{e}}^{\mathrm{3,45}}}{\mathrm{11,6}}}<{\displaystyle \frac{80+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}\alpha }}{\alpha }}<{\displaystyle \frac{80+{\mathrm{e}}^{\mathrm{3,48}}}{\mathrm{11,5}}}& \text{soit}& \mathrm{9,612}<C_m\left(\alpha \right)<\mathrm{9,78}\end{array}$$

   D'où un encadrement de $C_m\left(\alpha \right)$ en centaines d'euros : $\mathrm{9,612}<C_m\left(\alpha \right)<\mathrm{9,695}$. Cet encadrement ne permet pas d'obtenir une valeur approchée à un euro près par défaut du coût moyen minimal.

   Par contre avec un encadrement d'amplitude 10^-3 de α, on obtient :$$\begin{array}{ccccc}\mathrm{11,585}<\alpha <\mathrm{11,586}& \iff & {\displaystyle \frac{80+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}\times \mathrm{11,585}}}{\mathrm{11,586}}}<{\displaystyle \frac{80+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}\alpha }}{\alpha }}<{\displaystyle \frac{80+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,3}\times \mathrm{11,586}}}{\mathrm{11,585}}}& \text{soit}& \mathrm{9,693}<C_m\left(\alpha \right)<\mathrm{9,696}\end{array}$$

   Soit un encadrement de $C_m\left(\alpha \right)$ en centaines d'euros : $\mathrm{9,693}<C_m\left(\alpha \right)<\mathrm{9,695}$

   Une valeur approchée à un euro près par défaut du coût moyen minimal est de 969 €.

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