Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles-Guyane

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans une zone de marais on s'intéresse à la population des libellules. On note $P_{0}$ la population initiale et $P_{n}$ la population au bout de n années.

Des études ont permis de modéliser l'évolution de $P_{n}$ par la relation :
(R) Pour tout entier naturel n on a : $P_{n + 2} - P_{n + 1} = \frac{1}{2} (P_{n + 1} - P_{n})$ .

On suppose que $P_{0} = 40 000$ et $P_{1} = 60 000$ .

On définit l'accroissement de la population pendant la n-ième année par la différence $P_{n} - P_{n - 1}$ .

Calculer l'accroissement de la population pendant la première année, la deuxième année, la troisième année, puis en déduire $P_{2}$ et $P_{3}$ .
L'accroissement de la population pendant la première année est : $P_{1} - P_{0}$
L'accroissement de la population pendant la deuxième année est : $P_{2} - P_{1} = \frac{1}{2} (P_{1} - P_{0})$
On considère les suites $(U_{n})$ et $(V_{n})$ définies pour tout entier naturel n par : $U_{n} = P_{n + 1} - P_{n}$ et $V_{n} = P_{n + 1} - \frac{1}{2} P_{n}$
1. Prouver que la suite $(U_{n})$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
  Exprimer $U_{n}$ en fonction de n.
  Dire qu'une suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q , appelé raison, tel que, pour tout entier natureln , $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ .
  Si ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est une suite géométrique de raison q , de premier terme $u_{0}$ alors, pour tout entier n : $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ .
2. En utilisant la relation (R), calculer $V_{n + 1} - V_{n}$ .
  En déduire que, pour tout n , on a : $V_{n} = P_{1} - \frac{1}{2} P_{0}$
  Calculer $V_{n}$ .
  $V_{n + 1} - V_{n} = (P_{n + 2} - \frac{1}{2} P_{n + 1}) - (P_{n + 1} - \frac{1}{2} P_{n})$
3. Démontrer que, pour tout entier naturel n , on a $P_{n} = 2 (V_{n} - U_{n})$ .
  En déduire une expression de $P_{n}$ en fonction de n .
  Pour tout entier n , $V_{n} - U_{n} = (P_{n + 1} - \frac{1}{2} P_{n}) - (P_{n + 1} - P_{n})$
4. Montrer que la suite $(P_{n})$ converge et calculer sa limite.
  Que peut-on en déduire en ce qui concerne l'évolution de cette population au bout d'un nombre d'années suffisamment grand?
  Utiliser le théorème relatif à la convergence d'une suite définie en fonction de n .
  Soit f une fonction définie sur [0; $+ \infty$ [ et ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ la suite définie par $u_{n} = f (n)$
  Si la fonction f admet une limite réelle $𝓁$ en $+ \infty$ , alors la suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ converge vers $𝓁$ .

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.