sujet : Antilles-Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ en fonction de a, b et c.

   L'expression de la dérivée de la fonction $u:x\to ax+b$ est : $u\prime \left(x\right)=a$

   L'expression de la dérivée de la fonction $v:x\to {\displaystyle \frac{c}{x+1}}$ est : $v\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{c}{{(x+1)}^2}}$

   Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur $\left]-\infty ;-1\right[\cup \left]-1;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=a-{\displaystyle \frac{c}{{(x+1)}^2}}$

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2. En vous aidant des informations contenues dans le tableau de variations ci-dessus, montrer que l'on a : $a=1$, $b=-1$, $c=4$.

   D'après le tableau nous avons:

   • $f(-3)=-6$. D'où a, b et c sont solutions de l'équation : $-3a+b-{\displaystyle \frac{c}{2}}=-6$.
   • $f\left(1\right)=2$. D'où a, b et c sont solutions de l'équation : $a+b+{\displaystyle \frac{c}{2}}=2$.
   • $f\prime (-3)=f\prime \left(1\right)=0$. D'où : $a-{\displaystyle \frac{c}{4}}=0$.

   Ainsi a, b et c sont solutions du système : $$\{\begin{array}{rcl}-3a+b-{\displaystyle \frac{c}{2}}& =& -6\\ a+b+{\displaystyle \frac{c}{2}}& =& 2\\ a-{\displaystyle \frac{c}{4}}& =& 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rcl}-5a+b& =& -6\\ 3a+b& =& 2\\ c& =& 4a\end{array}\iff \{\begin{array}{rcl}8a& =& 8\\ 3a+b& =& 2\\ c& =& 4a\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\\ c=4\end{array}$$

   f est la fonction définie sur $\left]-\infty ;-1\right[\cup \left]-1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x-1+{\displaystyle \frac{4}{x+1}}$.

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3. Déterminer les limites manquantes dans le tableau de variations fourni.

   Il s'agit de calculer:

   1. $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ :

      Nous avons, $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }(x-1)=-2$

      D'autre part, $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }(x+1)=0$ (avec $x+1<0$) , et $\underset{X\to 0^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=-\infty$ alors $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{4}{x+1}}=-\infty$ (D'après le théorème : limite d'une fonction composée.)α  , m et $𝓁$ désignent des nombres réels ou $+\infty$ ou - ∞
      u , v et f sont trois fonctions telles que : $f=u\circ v$.
      Si $\underset{x\to \alpha }{lim}u\left(x\right)=m$ et  $\underset{X\to m}{lim}v\left(X\right)=𝓁$ alors  $\underset{x\to \alpha }{lim}f\left(x\right)=𝓁$.

      Ainsi $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

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   2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ :

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }(x-1)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{4}{x+1}}=0$ alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

4. Montrer que la courbe représentative ${𝒞}_f$ de la fonction f admet comme asymptote la droite D d'équation $y=x-1$, lorsque x tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$.
   Étudier la position relative de la courbe ${𝒞}_f$ et de son asymptote D.

   Étudions $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)-(x-1)$

   Pour tout réel x ≠1 $f\left(x\right)-(x-1)={\displaystyle \frac{4}{x+1}}$

   Or $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{4}{x+1}}=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{4}{x+1}}=0$ alors :

   La courbe représentative ${𝒞}_f$ de la fonction f admet comme asymptote la droite D d'équation $y=x-1$, lorsque x tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$.

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   L'étude du signe de $f\left(x\right)-(x-1)={\displaystyle \frac{4}{x+1}}$ nous renseigne sur la position relative de la courbe ${𝒞}_f$ et de son asymptote D.

   • Si $x<-1$ alors ${\displaystyle \frac{4}{x+1}}<0$ donc : la courbe ${𝒞}_f$ est sous son asymptote D pour $x<-1$.

   • Si $x>-1$ alors ${\displaystyle \frac{4}{x+1}}>0$ donc : la courbe ${𝒞}_f$ est au dessus de son asymptote D pour $x>-1$.

   La courbe représentative de la fonction f , ainsi que les deux asymptotes ont été tracées ci-dessous.

5. Déterminer la valeur exacte de ${\displaystyle {\int }_1^2\left[f\left(x\right)-\left(x-1\right)\right]\mathrm{d}x}$ et interpréter le résultat en terme d'aire.

   ${\displaystyle {\int }_1^2\left[f\left(x\right)-\left(x-1\right)\right]\mathrm{d}x}={\displaystyle {\int }_1^2{\displaystyle \frac{4}{x+1}}\mathrm{d}x}$

   Cherchons une primitive de la fonction $g:x\to {\displaystyle \frac{4}{x+1}}$ définie sur l'intervalle [1;2]

   $g={\displaystyle \frac{4}{u}}$ avec $u\left(x\right)=x+1$

   Or sur l'intervalle [1;2] la fonction $u:x\to x+1$ est positive et de plus $u\prime \left(x\right)=1$.

   D'où $g=4{\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ ( u > 0) alors une primitive de la fonction g est la fonction $G=4\ln u$ (Voir Primitive de ${\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$)u est une fonction dérivable sur un intervalle I, et strictement positive sur cet intervalle. Alors, une primitive de la fonction ${\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ est la fonction :$$x\to \ln [u\left(x\right)]$$

   Par conséquent :

   ${\displaystyle {\int }_1^2\left[f\left(x\right)-\left(x-1\right)\right]\mathrm{d}x}={\displaystyle {\int }_1^2{\displaystyle \frac{4}{x+1}}\mathrm{d}x}={{\displaystyle \left[4\ln \left(x+1\right)\right]}}_1^2=4\ln \left(2+1\right)-4\ln \left(1+1\right)=4\ln 3-4\ln 2$.

   Ainsi ${\displaystyle {\int }_1^2\left[f\left(x\right)-\left(x-1\right)\right]\mathrm{d}x}=4\ln \left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$.

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   Interprétation

   Pour les fonctions continues et positives sur un intervalle [a ; b], nous pouvons établir un lien entre intégrale et aire.Soit a et b deux réels tels que a ⩽ b, f une fonction définie et continue sur l'intervalle [a;b] et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{ȷ}\right)$ . Si, pour tout x de [a;b]  $f\left(x\right)⩾0$,
   alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)}\mathrm{d}x$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = a et x = b.

   Sur l'intervalle [1 ; 2] :

   • $f\left(x\right)>0$ alors ${\displaystyle {\int }_1^{2}f\left(x\right)}\mathrm{d}x$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe ${𝒞}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 1 et x = 2.
   • $x-1>0$ alors ${\displaystyle {\int }_1^2(x-1)}\mathrm{d}x$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la droite D d'équation $y=x-1$, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 1 et x = 2.
   • D'autre part, la courbe ${𝒞}_f$ est au dessus de son asymptote D pour $x>-1$ d'où ${\displaystyle {\int }_1^{2}f\left(x\right)}\mathrm{d}x-{\displaystyle {\int }_1^2(x-1)}\mathrm{d}x$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine colorié sur la figure, compris entre la courbe ${𝒞}_f$, l'asymptote D, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 1 et x = 2.

   Or ${\displaystyle {\int }_1^{2}f\left(x\right)}\mathrm{d}x-{\displaystyle {\int }_1^2(x-1)}\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_1^2\left[f\left(x\right)-\left(x-1\right)\right]\mathrm{d}x}$

   Ainsi, l'aire du domaine compris entre la courbe ${𝒞}_f$, l'asymptote D, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 1 et x = 2 est égale à $4\ln \left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ unités d'aire.

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