sujet : Antilles-Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Calculer l'accroissement de la population pendant la première année, la deuxième année, la troisième année, puis en déduire $P_2$ et $P_3$.

   L'accroissement de la population pendant la première année est : $$P_1-P_0=\mathrm{60\; 000}-\mathrm{40\; 000}={\displaystyle \begin{array}{}{\displaystyle \mathrm{20\; 000}}\end{array}}$$

   L'accroissement de la population pendant la deuxième année est : $$P_2-P_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(P_1-P_0\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \mathrm{20\; 000}={\displaystyle \begin{array}{}{\displaystyle \mathrm{10\; 000}}\end{array}}$$

   L'accroissement de la population pendant la troisième année est : $$P_3-P_2={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(P_2-P_1\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \mathrm{10\; 000}={\displaystyle \begin{array}{}{\displaystyle \mathrm{5\; 000}}\end{array}}$$

   D'autre part :

   • $P_2-P_1=\mathrm{10\; 000}\iff P_2=P_1+\mathrm{10\; 000}$, d'où ${\displaystyle \begin{array}{}{\displaystyle P_2=\mathrm{70\; 000}}\end{array}}$

     ---

   • $P_3-P_2=\mathrm{5\; 000}\iff P_3=P_2+\mathrm{5\; 000}$, d'où ${\displaystyle \begin{array}{}{\displaystyle P_3=\mathrm{75\; 000}}\end{array}}$

2. On considère les suites $\left(U_n\right)$ et $\left(V_n\right)$ définies pour tout entier naturel n par : $U_n=P_{n+1}-P_n$ et $V_n=P_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{P}_n$

   1. Prouver que la suite $\left(U_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. (Voir la définition d'une suite géométrique.)Dire qu'une suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=q\times u_n$.
      Exprimer $U_n$ en fonction de n. (Voir la propriété)Si ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison q , de premier terme $u_0$ alors, pour tout entier n : $u_n=u_0\times q^n$.

      $U_{n+1}=P_{n+2}-P_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(P_{n+1}-P_n\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{U}_n$

      $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et de premier terme $U_0=P_1-P_0=\mathrm{20\; 000}$.
      Le terme général de cette suite est $U_n=\mathrm{20\; 000}\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$ pour tout entier n.

      ---

   2. En utilisant la relation (R), calculer $V_{n+1}-V_n$.
      En déduire que, pour tout n , on a : $V_n=P_1-{\displaystyle \frac{1}{2}}{P}_0$
      Calculer $V_n$.

      $\begin{array}{lclr}{V}_{n+1}-V_n& =& (P_{n+2}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{P}_{n+1})-(P_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{P}_n)& \\ & =& (P_{n+2}-P_{n+1})-{\displaystyle \frac{1}{2}}(P_{n+1}-P_n)& \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}(P_{n+1}-P_n)-{\displaystyle \frac{1}{2}}(P_{n+1}-P_n)& \text{Utilisation de la relation (R)}\end{array}$

      Ainsi pour tout entier n , $V_{n+1}-V_n=0$.

      ---

      Dire que pour tout entier n , $V_{n+1}-V_n=0$ équivaut à dire que $\left(V_n\right)$ est une suite constante.

      Or $V_0=P_1-{\displaystyle \frac{1}{2}}{P}_0$

      Donc pour tout entier n , $V_n=P_1-{\displaystyle \frac{1}{2}}{P}_0$.

      ---

      Soit $V_n=\mathrm{60\; 000}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \mathrm{40\; 000}={\displaystyle \begin{array}{}{\displaystyle \mathrm{40\; 000}}\end{array}}$

   3. Démontrer que, pour tout entier naturel n , on a $P_n=2\left(V_n-U_n\right)$.
      En déduire une expression de $P_n$ en fonction de n .

      Pour tout entier n , $V_n-U_n=(P_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{P}_n)-(P_{n+1}-P_n)={\displaystyle \frac{1}{2}}{P}_n$

      Ainsi pour tout entier naturel n , on a $P_n=2\left(V_n-U_n\right)$.

      ---

      Soit en utilsant les résultats des questions précédentes : $$P_n=2\left(\mathrm{40\; 000}-\mathrm{20\; 000}\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\right)$$

      Pour tout entier naturel n , on a $P_n=\mathrm{40\; 000}\left(2-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\right)$

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   4. Montrer que la suite $\left(P_n\right)$ converge et calculer sa limite. Voir le théorème relatif à la convergence.Soit f une fonction définie sur [0; $+\infty$[ et ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ la suite définie par $u_n=f\left(n\right)$
      Si la fonction f admet une limite réelle $𝓁$ en $+\infty$, alors la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers $𝓁$.
      Que peut-on en déduire en ce qui concerne l'évolution de cette population au bout d'un nombre d'années suffisamment grand?

      Étudions la limite en $+\infty$ de la fonction f définie sur [0; $+\infty$[ par $f\left(x\right)=\mathrm{40\; 000}\left(2-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x\right)$.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x=0$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }2-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x=2$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\mathrm{40\; 000}\left(2-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x\right)=\mathrm{80\; 000}$

      La suite $\left(P_n\right)$ converge et sa limite est égale à 80 000.

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      Au bout d'un nombre d'années suffisamment grand la population des libellules se stabilisera à environ 80 000 individus.

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