Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Au 1er janvier 2005, une ville en pleine expansion avait une population de 100 000 habitants.

Un bureau d'étude fait l'hypothèse qu'à partir du 1er janvier 2005 :

PARTIE A : ÉTUDE THÉORIQUE :

Pour tout entier naturel n, on note u n le nombre d'habitants de cette ville au 1er janvier de l'année 2005 + n.
Ainsi u0=100 000.

  1. Calculer u1 et u2 .

  2. Justifier que, pour tout entier naturel nun+1=1,05un+4000.

    À une augmentation de 5% on associe un coefficient multiplicateur de ...

  3. Pour tout entier naturel n, on pose vn=un+80000 .

    1. Calculer v0.

    2. Montrer que (vn)n est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

      Dire qu'une suite est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, un+1=un×q.

    3. Exprimer vn en fonction de n. En déduire que un=180000×(1,05)n80000.

      Si ( u n ) est une suite géométrique de raison q, alors, un+1=u0×qn.

    4. Calculer la limite de la suite (un)n

      Si q > 1, alors: limn+(q)n=+.

partie B:

Le but de cette partie est de prévoir l'évolution de la population jusqu'en 2020, en utilisant le modèle théorique étudié à la PARTIE A.

  1. Quel sera le nombre d'habitants de la ville au 1er janvier 2020 ?

    u 15 est le nombre d'habitants de cette ville au 1er janvier de l'année 2020

  2. À partir de quelle année la population de cette ville dépassera-t-elle 200 000 habitants ?

    On cherche le plus petit entier naturel n tel que un>200000


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