Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

La courbe (C) donnée ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $] - 3; + \infty [$ .
On sait que le point A de coordonnées $(0; 1)$ appartient à la courbe (C) et que la fonction f admet un minimum pour $x = 0$ .
En outre, les droites d'équations respectives $y = 4$ et $x = - 3$ sont asymptotes à la courbe (C).

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette réponse dans le tableau.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

1) La limite de la fonction f en $+ \infty$ est : La droite d'équation $y = 4$ est asymptote à la courbe (C) en $+ \infty$ , alors $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 4$ .	$+ \infty$ -3 4
2) On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle $] - 3; + \infty [$ La fonction f est dérivable sur l'intervalle $] - 3; + \infty [$ et admet un minimum pour x = 0 alors la dérivée s'annule en changeant de signe pour x = 0.	f '(0) = 1 f '(1) = 0 $f' (0) = 0$
3) L'équation de la tangente à la courbe (C) au point A est : La fonction f est dérivable sur l'intervalle $] - 3; + \infty [$ et admet un minimum pour x = 0 alors la dérivée s'annule en changeant de signe pour $x = 0$ , le coefficicient directeur de la tangente à la courbe au point A est $f' (0) = 0$ . D'autre part le point A de coordonnées $(0; 1)$ appartient à la courbe (C) alors l'équation de la tangente à la courbe (C) au point A est :	$y = 1$ y = x y = 0
4) Sur l'intervalle $] - 3; + \infty [$ , l'équation f(x) = x La droite d'équation $y = x$ coupe la courbe (C) en un seul point M dont l'abscisse est un réel compris entre 1 et 2 par conséquent, sur l'intervalle $] - 3; + \infty [$ , l'équation $f (x) = x$ admet une solution unique appartenant à l'intervalle $] 1; 2 [$ .	n'admet aucune solution admet comme solution unique : $x = 0$ admet une solution unique appartenant à l'intervalle $] 1; 2 [$

Dans les deux questions suivantes, on considère la fonction g définie sur l'intervalle $] - 3; + \infty [$ par $g = \ln \circ f$ , où ln désigne la fonction logarithme népérien.

5) Si $x = 0$ , alors

Si $x = 0$ , alors $f (0) = 1$ or $\ln (1) = 0$ ainsi $g (0) = 0$ .

on ne peut pas calculer $g (x)$
$g (x) = 1$
$g (x) = 0$

6) On peut affirmer que sur l'intervalle $] - 3; + \infty [$

La courbe (C) est au dessus de l'axe des abscisses donc sur l'intervalle $] - 3; + \infty [$ la fonction f est positive. D'après le théorème sur les variations de $\ln u$ :

Soit u une fonction strictement positive sur un intervalle I alors, les fonctions u et $\ln u$ ont les mêmes variations sur I.

Par conséquent, g a les mêmes variations que la fonction f

g a les mêmes variations que la fonction ln
g a les mêmes variations que la fonction f
g a les variations inverses de celles de la fonction f

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