Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0;+[ par :f(x)=x-2+10e-0,5x.
On note (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal et (D) la droite d'équation y=x-2.
La courbe (C) est partiellement représentée ci-contre.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer la limite de la fonction f en + .

    limx+-0,5x=- et limX-eX=0 d'où limx+e-0,5x=0 donc: limx+10e-0,5x=0

    Or limx+x-2=+ donc limx+x-2+10e-0,5x=+

    Ainsi limx+f(x)=+.


  2. On pose α=2ln5

    1. Montrer que f(α)=α.

      f(2ln5)=2ln5-2+10e-0,5×2ln5=2ln5-2+10e-ln5=2ln5-2+10eln5=2ln5-2+105=2ln5

      Ainsi, f(2ln5)=2ln5


    2. Donner une valeur approchée à 10-1 près de α .

      α=2ln53,2


  3. On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle [0;+[ et on note f la fonction dérivée de f sur cet intervalle.

    1. Calculer f(x), pour tout x élément de l'intervalle [0;+[.

      Déterminons la dérivée de g:xe-0,5x. (Voir la dérivée de eu)Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction f:xeu(x) est dérivable sur I et pour tout réel x de I, f(x)=eu(x)×u(x).

      g est dérivable et pour tout réel x, g(x)=-0,5e-0,5x

      f est dérivable comme somme de fonctions dérivables et, pour tout réel x de l'intervalle [0;+[ : f(x)=1+10×(-0,5e-0,5x)=1-5e-0,5x

      f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle [0;+[ par f(x)=1-5e-0,5x


    2. Étudier le signe de f(x) sur l'intervalle [0;+[, et dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur cet intervalle.

      • Étude du signe de f

        1-5e-0,5x<0-5e-0,5x<-1e-0,5x>15ln(e-0,5x)>ln(15)-0,5x>-ln5x<2ln5


        Ainsi f(x)<0 équivaut à  x<2ln5


      • En outre f(2ln5)=1-5e-0,5(2ln5)=1-5e-ln5=0.

      • Nous pouvons établir le tableau de variation de la fonction f :

        x 0 2ln5 +
        Signe de f(x) 0|| +
        variations de f

        8

        fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

        2ln5

        fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

        +

  4. Justifier que limx+[f(x)-(x-2)]=0 et que, pour tout x de l'intervalle [0;+[ , f(x)-(x-2)>0.
    Donner l'interprétation graphique de ces résultats.

    • f(x)-(x-2)=10e-0,5x or limx+10e-0,5x=0 d'après la première question donc : limx+[f(x)-(x-2)]=0


    • Pour tout réel x, ex>0 d'où pour tout réel x, 10e-0,5x>0.

      Pour tout x de l'intervalle [0;+[, f(x)-(x-2)>0.


    • Interprétation graphique : La droite (D) d'équation y=x-2 est asymptote à la courbe (C) en + et la courbe (C) est au dessus de la droite (D) en chacun de ses points.


  5. Sur le graphique donné :

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Placer le point de la courbe (C) d'abscisse α ;

      D'après la question 2.a f(α)=α . Par conséquent α est l'abscisse du point M intersection de la courbe (C) avec la droite d'équation y=x.

    2. Tracer la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse α ;

      f(2ln5)=0, alors la la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse α est parallèle à l'axe des abscisses et a pour équation y=α.

    3. Tracer la droite (D).


  6. On note A l'aire (en unités d'aire) du domaine E délimité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d'équations respectives x=2 et x=6.

    1. Hachurer sur le graphique, le domaine E, puis exprimer l'aire A à l'aide d'une expression faisant intervenir une intégrale.

      Le domaine E est délimité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d'équations respectives x=2 et x=6. Comme d'après la question 4, la courbe (C) est au dessus de la droite (D) en chacun de ses points on en déduit que l'aire A est égale à l'intégrale : A=26(f(x)-(x-2))dx=2610e-0,5xdx.

      Ainsi, l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine E est égale à A=2610e-0,5xdx


    2. Déterminer la valeur exacte de l'aire A, puis en donner la valeur arrondie au centième.

      A=2610e-0,5xdx=26-20×(-0,5e-0,5x)dx=[-20e-0,5x]26=-20e-0,5×6+20e-0,5×2=-20e-3+20e-1

      Soit A=20e-1-20e-36,36 unités d'aire



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