Soit f la fonction définie sur l'intervalle par :.
On note (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal et (D) la droite d'équation .
La courbe (C) est partiellement représentée ci-contre.
Déterminer la limite de la fonction f en .
et d'où donc:
Or donc
Ainsi .
On pose
Montrer que .
Ainsi,
Donner une valeur approchée à 10-1 près de α .
On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle et on note la fonction dérivée de f sur cet intervalle.
Calculer , pour tout x élément de l'intervalle .
Déterminons la dérivée de . (Voir la dérivée de )Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction est dérivable sur I et pour tout réel x de I, .
g est dérivable et pour tout réel x,
f est dérivable comme somme de fonctions dérivables et, pour tout réel x de l'intervalle :
est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle par
Étudier le signe de sur l'intervalle , et dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur cet intervalle.
Étude du signe de
Ainsi équivaut à
En outre .
Nous pouvons établir le tableau de variation de la fonction f :
x | 0 | ||||
Signe de | − | + | |||
variations de f | 8 |
Justifier que et que, pour tout x de l'intervalle , .
Donner l'interprétation graphique de ces résultats.
or d'après la première question donc :
Pour tout réel x, d'où pour tout réel x, .
Pour tout x de l'intervalle , .
Interprétation graphique : La droite (D) d'équation est asymptote à la courbe (C) en et la courbe (C) est au dessus de la droite (D) en chacun de ses points.
Sur le graphique donné :
Placer le point de la courbe (C) d'abscisse α ;
D'après la question 2.a . Par conséquent α est l'abscisse du point M intersection de la courbe (C) avec la droite d'équation .
Tracer la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse α ;
, alors la la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse α est parallèle à l'axe des abscisses et a pour équation .
Tracer la droite (D).
On note A l'aire (en unités d'aire) du domaine E délimité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d'équations respectives et .
Hachurer sur le graphique, le domaine E, puis exprimer l'aire A à l'aide d'une expression faisant intervenir une intégrale.
Le domaine E est délimité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d'équations respectives et . Comme d'après la question 4, la courbe (C) est au dessus de la droite (D) en chacun de ses points on en déduit que l'aire A est égale à l'intégrale : .
Ainsi, l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine E est égale à
Déterminer la valeur exacte de l'aire A, puis en donner la valeur arrondie au centième.
Soit unités d'aire
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