Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: France Métropolitaine

exercice 1 ( 3 points ) commun à tous les candidats

Courbe C : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

La courbe (C) donnée ci-contre est la courbe représentative d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ]3;+[ .

On sait que le point A de coordonnées 01 appartient à la courbe (C) et que la fonction f admet un minimum pour x=0.

En outre, les droites d'équations respectives y=4 et x=-3 sont asymptotes à la courbe (C).


Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette réponse dans le tableau.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

1)  La limite de la fonction f en +∞ est :

  • + ∞
  • -3
  • 4

2)  On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle ]3;+[

  • f0=1
  • f1=0
  • f0=0

3)  L'équation de la tangente à la courbe (C) au point A est :

  • y=1
  • y=x
  • y=0

4)  Sur l'intervalle ]3;+[ , l'équation f(x) = x

  • n'admet aucune solution
  • admet comme solution unique : x=0
  • admet une solution unique appartenant à l'intervalle 12

Dans les deux questions suivantes, on considère la fonction g définie sur l'intervalle ]3;+[ par g=lnf , où ln désigne la fonction logarithme népérien.

5)  Si x=0, alors

  • on ne peut pas calculer g (x)
  • g (x) = 1
  • g (x) = 0

6)  On peut affirmer que sur l'intervalle ]3;+[

  • g a les mêmes variations que la fonction ln
  • g a les mêmes variations que la fonction f
  • g a les variations inverses de celles de la fonction f

Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

En 2004, une caisse de retraite propose à ses adhérents un barème de rachat d'un trimestre de cotisation des années antérieures selon le tableau suivant :

(Source : CARMF Mai 2004)
Âge de l'adhérent en années 54 55 56 57 58
Rang xi 0 1 2 3 4
Montant yi du rachat d'un trimestre de cotisation en euros 2229 2285 2340 2394 2449
  1. Calculer l'augmentation en pourcentage du montant du rachat d'un trimestre entre un salarié de 54 ans et un salarié de 58 ans. On donnera le résultat arrondi à l'unité.

  2. Sur votre copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique xiyi dans un repère orthogonal :

    • sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 2 cm pour une unité ;
    • sur l'axe des ordonnées, on placera 2 200 à l'origine et on choisira 1 cm pour 20 euros.
  3. Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.

    Le nuage de points permet de penser qu'un ajustement affine est justifié.
    Donner une équation de la droite de régression (D) de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés.
    Représenter la droite (D) dans le repère précédent.

  4. Quel serait avec cet ajustement affine le montant du rachat d'un trimestre pour un salarié âgé de 60 ans ?

  5. En fait le montant du rachat d'un trimestre pour un salarié âgé de 60 ans est de 2 555 euros et le montant du rachat d'un trimestre après 60 ans est calculé de la façon suivante : à partir de 60 ans, le montant du rachat baisse de 3% par an.
    Calculer le montant du rachat d'un trimestre pour un salarié ayant 65 ans.


Exercice 2 ( 5 POINTS ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Au 1er janvier 2005, une ville en pleine expansion avait une population de 100 000 habitants.

Un bureau d'étude fait l'hypothèse qu'à partir du 1er janvier 2005 :

PARTIE A : ÉTUDE THÉORIQUE :

Pour tout entier naturel n, on note u n le nombre d'habitants de cette ville au 1er janvier de l'année 2005 + n.
Ainsi u0=100 000.

  1. Calculer u1 et u2.

  2. Justifier que, pour tout entier naturel nun+1=1,05un+4000.

  3. Pour tout entier naturel n, on pose vn=un+80 000.

    1. Calculer v0 .

    2. Montrer que (vn)n est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

    3. Exprimer vn en fonction de n. En déduire que un=180000×(1,05)n80000 .

    4. Calculer la limite de la suite (un)n

partie B :

Le but de cette partie est de prévoir l'évolution de la population jusqu'en 2020, en utilisant le modèle théorique étudié à la PARTIE A.

  1. Quel sera le nombre d'habitants de la ville au 1er janvier 2020 ?

  2. À partir de quelle année la population de cette ville dépassera-t-elle 200 000 habitants ?


exercice 3 ( 7 points ) commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0;+[ par :fx=x-2+10e-0,5x .

On note (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal et (D) la droite d'équation y=x-2.

La courbe (C) est partiellement représentée ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer la limite de la fonction f en +∞ .

  2. On pose α=2ln5

    1. Montrer que f(α)=α .

    2. Donner une valeur approchée à 10-1 près de α .

  3. On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle [0;+[ et on note f la fonction dérivée de f sur cet intervalle.

    1. Calculer fx, pour tout x élément de l'intervalle [0;+[ .

    2. Étudier le signe de fx sur l'intervalle [0;+[ , et dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur cet intervalle.

  4. Justifier que limx+[fx-(x-2)]=0 et que, pour tout x de l'intervalle 0+ , fx-(x-2)>0.
    Donner l'interprétation graphique de ces résultats.

  5. Sur le graphique donné :

    1. Placer le point de la courbe (C) d'abscisse α ;

    2. Tracer la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse α ;

    3. Tracer la droite (D).

  6. On note A l'aire (en unités d'aire) du domaine E délimité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d'équations respectives x=2 et x=6.

    1. Hachurer sur le graphique, le domaine E, puis exprimer l'aire A à l'aide d'une expression faisant intervenir une intégrale.

    2. Déterminer la valeur exacte de l'aire A, puis en donner la valeur arrondie au centième.


exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Une usine d'emballage de pommes est approvisionnée par trois producteurs. Le premier producteur fournit 70 % de l'approvisionnement de cette usine, le reste étant également partagé entre le deuxième producteur et le troisième.
Avant d'être emballées, les pommes sont calibrées par une machine pour les trier selon leur diamètre. Les pommes dont le diamètre est conforme aux normes en vigueur sont emballées, les autres, dites "hors calibre", sont rejetées.

Il a été constaté que :

Chaque jour les pommes livrées par les différents producteurs sont entreposées dans le même hangar. Pour l'étude du problème qui suit, on convient qu'elles sont bien mélangées.
Un contrôle de qualité sur les pommes est effectué de la manière suivante :
un contrôleur choisit de manière aléatoire une pomme dans ce hangar, puis mesure son diamètre pour déterminer si elle est de "bon calibre" ou "hors calibre".
Un mercredi matin, un contrôle de qualité est effectué par le contrôleur de la manière décrite ci-dessus.

On appellera :

Tous les résultats de cet exercice seront donnés à 10-4 près.

  1. Déterminer les probabilités des événements F2 et F3.

  2. Recopier sur votre copie et compléter l'arbre suivant :

    Arbre probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Justifier que la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre et provienne du troisième producteur est 0,1440.

  4. Montrer que la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre est : 0,8465.

  5. La pomme mesurée est hors calibre. Le contrôleur affirme « Cette pomme provient très probablement du premier producteur ».
    Quel calcul permet de justifier cette affirmation ? Faire ce calcul et conclure.



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✉ A.Yallouz

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