sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

PARTIE A : ÉTUDE THÉORIQUE :

Pour tout entier naturel n, on note u _n le nombre d'habitants de cette ville au 1er janvier de l'année 2005 + n. Ainsi $u_0=\mathrm{100\; 000}$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$ .

   $$\begin{array}{c}{u}_1=\mathrm{1,05}{u}_0+4000=\mathrm{1,05}\times 100000+4000=109000\\ u_2=\mathrm{1,05}{u}_1+4000=\mathrm{1,05}\times 109000+4000=118450\end{array}$$

2. Justifier que, pour tout entier naturel n,  $u_{n+1}=\mathrm{1,05}{u}_n+4000$.

   Soit u _n le nombre d'habitants de la ville au 1er janvier de l'année 2005 + n. L'année suivante, le nombre d'habitants de cette ville augmentant chaque année de 5 % sera de $\mathrm{1,05}\times u_n$ auquel il faudra ajouter les 4 000 personnes supplémentaires qui viennent s'installer chaque année.

   L'évolution de la population d'une année sur l'autre peut être ainsi schématisée : $$u_n\underset{\text{Augmentation de 5 \%}}{\to }\mathrm{1,05}\times u_n\underset{\text{Apport de 4000}}{\to }\mathrm{1,05}\times u_n+4000$$

   D'où $u_{n+1}=\mathrm{1,05}{u}_n+4000$.

   ---

3. Pour tout entier naturel n, on pose $v_n=u_n+\mathrm{80\; 000}$.

   1. Calculer $v_0$.

      $$v_0=u_0+80000=100000+80000=180000$$

   2. Montrer que ${\left(v_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. (Voir la définition d'une suite géométrique.)Dire qu'une suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=q\times u_n$.

      Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}+80000\\ & =& \left(\mathrm{1,05}{u}_n+4000\right)+80000\\ & =& \mathrm{1,05}{u}_n+84000\\ & =& \mathrm{1,05}\times \left(u_n+80000\right)\\ & =& \mathrm{1,05}{v}_n\end{array}$$

      Ainsi, ${\left(v_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de premier terme 180000 et de raison 1,05.

      ---

   3. Exprimer $v_n$ en fonction de n. En déduire que $u_n=180000\times {\left(\mathrm{1,05}\right)}^n-80000$.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme 180000 et de raison 1,05 d'où pour tout entier naturel n, $v_n=180000\times {\left(\mathrm{1,05}\right)}^n$. (Voir la propriété)Si ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison q , de premier terme $u_0$ alors, pour tout entier n : $u_n=u_0\times q^n$.

      Comme $$v_n=u_n+80000\iff u_n=v_n-80000$$

      Donc pour tout entier naturel n, $u_n=180000\times {\left(\mathrm{1,05}\right)}^n-80000$.

      ---

   4. Calculer la limite de la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

      $\mathrm{1,05}>1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\mathrm{1,05}\right)}^n=+\infty$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }180000\times {\left(\mathrm{1,05}\right)}^n-80000=+\infty$

      D'où $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$

      ---

partie B :

Le but de cette partie est de prévoir l'évolution de la population jusqu'en 2020, en utilisant le modèle théorique étudié à la PARTIE A.

1. Quel sera le nombre d'habitants de la ville au 1^er janvier 2020 ?

   Le nombre d'habitants de cette ville au 1er janvier de l'année 2020 est :$$u_{15}=180000\times {\left(\mathrm{1,05}\right)}^{15}-80000\approx 294207$$

   La ville aura 294207 habitants au 1 ^er janvier 20120

   ---

2. À partir de quelle année la population de cette ville dépassera-t-elle 200 000 habitants ?

   On cherche le plus petit entier naturel n tel que $u_n>200000$. Soit : $$\begin{array}{lll}180000\times {\left(\mathrm{1,05}\right)}^n-80000>200000& \iff & 180000\times {\mathrm{1,05}}^n>280000\\ & \iff & {\mathrm{1,05}}^n>{\displaystyle \frac{280000}{180000}}\\ & \iff & \ln \left({\mathrm{1,05}}^n\right)>\ln \left({\displaystyle \frac{14}{9}}\right)\\ & \iff & n\ln \left(\mathrm{1,05}\right)>\ln \left({\displaystyle \frac{14}{9}}\right)\\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{14}{9}}\right)}{\ln \mathrm{1,05}}}\end{array}$$

   Comme ${\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{14}{9}}\right)}{\ln \mathrm{1,05}}}\approx \mathrm{9,05}$, le plus petit entier $n>{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{14}{9}}\right)}{\ln \mathrm{1,05}}}$ est 10.

   C'est à partir de l'année 2015 que la population de la ville dépassera 200000 habitants.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.