Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Une usine d'emballage de pommes est approvisionnée par trois producteurs. Le premier producteur fournit 70 % de l'approvisionnement de cette usine, le reste étant également partagé entre le deuxième producteur et le troisième.
Avant d'être emballées, les pommes sont calibrées par une machine pour les trier selon leur diamètre. Les pommes dont le diamètre est conforme aux normes en vigueur sont emballées, les autres, dites "hors calibre", sont rejetées.

Il a été constaté que :

  • 20 % des pommes fournies par le premier producteur sont hors calibre,
  • 5 % des pommes fournies par le second producteur sont hors calibre et
  • 4 % des pommes fournies par le troisième producteur sont hors calibre.

Chaque jour les pommes livrées par les différents producteurs sont entreposées dans le même hangar. Pour l'étude du problème qui suit, on convient qu'elles sont bien mélangées.
Un contrôle de qualité sur les pommes est effectué de la manière suivante :
un contrôleur choisit de manière aléatoire une pomme dans ce hangar, puis mesure son diamètre pour déterminer si elle est de "bon calibre" ou "hors calibre".
Un mercredi matin, un contrôle de qualité est effectué par le contrôleur de la manière décrite ci-dessus.

On appellera :

  • F1 l'événement : "la pomme prélevée provient du premier producteur"
  • F2 l'événement : "la pomme prélevée provient du deuxième producteur"
  • F3 l'événement : "la pomme prélevée provient du troisième producteur"
  • C l'événement : "la pomme prélevée a un bon calibre"
  • C¯ l'événement : "la pomme prélevée est hors calibre".

Tous les résultats de cet exercice seront donnés à 10-4 près.

  1. Déterminer les probabilités des événements F2 et F3.

    L'usine est approvisionnée par trois producteurs, d'où p(F1)+p(F2)+p(F3)=1

    Le premier producteur fournit 70 % de l'approvisionnement , le reste étant également partagé entre le deuxième producteur et le troisième, il s'ensuit que p(F1)=0,7 et p(F2)=p(F3) donc :p(F2)=p(F3)=1-0,72=0,15

    Ainsi p(F2)=p(F3)=0,15


  2. Recopier sur votre copie et compléter l'arbre suivant :

    • 20 % des pommes fournies par le premier producteur sont hors calibre alors pF1(C¯)=0,2 et pF1(C)=1-pF1(C¯)=1-0,2=0,8.

    • 5 % des pommes fournies par le second producteur sont hors calibre alors pF2(C¯)=0,05 et pF2(C)=1-pF2(C¯)=1-0,05=0,95.

    • 4 % des pommes fournies par le second producteur sont hors calibre alors pF3(C¯)=0,04 et pF3(C)=1-pF3(C¯)=1-0,05=0,96.

    D'où l'arbre de probabilité modélisant la situation :

    Arbre probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Justifier que la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre et provienne du troisième producteur est 0,1440.

    On cherche à calculer la probabilité de l'événement « F3 et C » noté F3C.

    p(F3C)=pF3(C)×p(F3)=0,96×0,15=0,144


  4. Montrer que la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre est : 0,8465.

    On cherche à calculer la probabilité de l'événement C.

    L'usine d'emballage de pommes est approvisionnée par les trois producteurs. F1, F2 et F3 forment une partition de l'ensemble des événements élémentaires de l'expérience aléatoire alors d'après la formule des probabilités totales : A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
    Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
    Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
    p(C)=p(CF1)+p(CF2)+p(CF3)

    Or p(F1C)=pF1(C)×p(F1) soit p(F1C)=0,8×0,7=0,56
    et p(F2C)=pF2(C)×p(F2) soit 0,95×0,15=0,1425

    D'où p(C)=0,56+0,1425+0,144=0,8465

    La probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre est égale à 0,8465.


  5. La pomme mesurée est hors calibre. Le contrôleur affirme « Cette pomme provient très probablement du premier producteur ».
    Quel calcul permet de justifier cette affirmation ? Faire ce calcul et conclure.

    Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de F1 sachant C¯ : pC¯(F1)=p(C¯F1)p(C¯)

    Or p(F1C¯)=pF1(C¯)×p(F1)=0,2×0,7=0,14 et p(C¯)=1-p(C)=1-0,8465=0,1535. D'où pC¯(F1)=0,140,1535 0,9121

    Environ 91,21% des pommes hors calibre proviennent du premier producteur, donc l'affirmation du contrôleur est correcte.



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