Une usine d'emballage de pommes est approvisionnée par trois producteurs. Le premier producteur fournit 70 % de l'approvisionnement de cette usine, le reste étant également partagé entre le deuxième producteur et le troisième.
Avant d'être emballées, les pommes sont calibrées par une machine pour les trier selon leur diamètre. Les pommes dont le diamètre est conforme aux normes en vigueur sont emballées, les autres, dites "hors calibre", sont rejetées.
Il a été constaté que :
Chaque jour les pommes livrées par les différents producteurs sont entreposées dans le même hangar. Pour l'étude du problème qui suit, on convient qu'elles sont bien mélangées.
Un contrôle de qualité sur les pommes est effectué de la manière suivante :
un contrôleur choisit de manière aléatoire une pomme dans ce hangar, puis mesure son diamètre pour déterminer si elle est de "bon calibre" ou "hors calibre".
Un mercredi matin, un contrôle de qualité est effectué par le contrôleur de la manière décrite ci-dessus.
On appellera :
Tous les résultats de cet exercice seront donnés à 10-4 près.
Déterminer les probabilités des événements et .
L'usine est approvisionnée par trois producteurs, d'où
Le premier producteur fournit 70 % de l'approvisionnement , le reste étant également partagé entre le deuxième producteur et le troisième, il s'ensuit que et donc :
Ainsi
Recopier sur votre copie et compléter l'arbre suivant :
20 % des pommes fournies par le premier producteur sont hors calibre alors et .
5 % des pommes fournies par le second producteur sont hors calibre alors et .
4 % des pommes fournies par le second producteur sont hors calibre alors et .
D'où l'arbre de probabilité modélisant la situation :
Justifier que la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre et provienne du troisième producteur est 0,1440.
On cherche à calculer la probabilité de l'événement « et C » noté ∩ C.
Montrer que la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre est : 0,8465.
On cherche à calculer la probabilité de l'événement C.
L'usine d'emballage de pommes est approvisionnée par les trois producteurs. F1, F2 et forment une partition de l'ensemble des événements élémentaires de l'expérience aléatoire alors d'après la formule des probabilités totales : forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un événement B est donnée par :
Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :
Or soit
et soit
D'où
La probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre est égale à 0,8465.
La pomme mesurée est hors calibre. Le contrôleur affirme « Cette pomme provient très probablement du premier producteur ».
Quel calcul permet de justifier cette affirmation ? Faire ce calcul et conclure.
Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de sachant :
Or et . D'où
Environ 91,21% des pommes hors calibre proviennent du premier producteur, donc l'affirmation du contrôleur est correcte.
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