Une entreprise étudie la progression de ses bénéfices ou pertes, évalués au premier au premier janvier de chaque année, depuis le 1er janvier 1999. Chaque année est identifiée par son rang.
À l'année 1999 est attribué le rang 0 et à l'année 1999 + n le rang n ainsi 2001 a le rang 2.
Le tableau ci-dessous indique pour chaque rang d'année le bénéfice ou perte réalisé, exprimé en milliers d'euros et noté .
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| - 25,000 | - 3,111 | 9,892 | 17,788 | 22,598 | 25,566 |
On cherche à approcher ces bénéfices par une fonction.
Soit f la fonction définie sur par . On note sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unités graphiques 1 cm pour une unité en abscisses et 1 cm pour 4 unités en ordonnées.
On considère que l'approximation des bénéfices par f est satisfaisante si la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et les valeurs approchées est inférieure à 0,5.
L'approximation par f est-elle satisfaisante? (Le résultat obtenu à l'aide de la calculatrice constituera une justification acceptable pour cette question.)
Utiliser la calculatrice pour obtenir la somme des différentes valeurs de pour i variant de 0 à 5.
Déterminer la limite de f en .
Appliquer le théorème sur les limites des fonctions composées à la fonction .
En déduire que admet une asymptote D dont on précisera l'équation.
Étudier la position de par rapport à D.
Pour étudier les positions relatives de par rapport à D, il suffit d'étudier le signe de .
Étudier les variations de f sur et dresser le tableau de variations.
Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à au point d'abscisse 0.
En utilisant le modèle que constitue la fonction f, en quelle année le bénéfice évalué au 1er janvier dépassera-t-il 29 800 euros?
Le bénéfice évalué au 1er janvier dépassera 29 800 euros pour la plus petite valeur entière du rang x solution de :.
Ce bénéfice atteindra-t-il 30 000 euros? Justifier.
Construire , en faisant apparaître tous les éléments graphiques mis en évidence dans les questions précédentes.
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