sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une urne contient des jetons bleus, des jetons blancs et des jetons rouges.
10% des jetons sont bleus et il y a trois fois plus de jetons blancs que de jetons bleus.

Un joueur tire un jeton au hasard.

• S'il est rouge, il remporte le gain de base.
• S'il est blanc, il remporte le carré du gain de base.
• S'il est bleu, il perd le cube du gain de base.

1. On suppose que le gain de base est 2 euros.

   1. Déterminer la loi de probabilité sur l'ensemble des résultats possibles.

      Les gains possibles sont : 2, 2² ou -2³ soit -8, 2 ou 4
      10% des jetons sont bleus, alors la probabilité de tirer un jeton bleu est égale à ...
      Il y a trois fois plus de jetons blancs que de jetons bleus, alors la probabilité de tirer un jeton blanc est égale à ...
      Il n'y a que trois issues possibles lors du tirage, alors la probabilité de tirer un jeton rouge est égale à 1 - ...

   2. Calculer le gain moyen que l'on peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages.

      Le gain moyen qu'un joueur peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages est l'espérance mathématique $\mu$ de la loi de probabilité des gains possibles.

2. On cherche à déterminer la valeur $g_0$ du gain de base, telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal. Le résultat sera arrondi au centime d'euro.

   Soit x le gain de base en euros.

   1. Montrer que le problème posé revient à étudier les éventuels extremums de la fonction f définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=-\mathrm{0,1}{x}^3+\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{0,6}x$ .

   2. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$. Déterminer $f\prime \left(x\right)$.

      Soit x le montant en euros du gain de base.
      Un joueur tire un jeton au hasard, les montants des différents gains possibles sont :

      • S'il est rouge, il remporte le gain de base; soit un gain algébrique d'un montant égal à x.
      • S'il est blanc, il remporte le carré du gain de base ; soit un gain algébrique d'un montant égal à $x^2$.
      • S'il est bleu, il perd le cube du gain de base ; soit un gain algébrique d'un montant égal à $-x^3$.

   3. En déduire le sens de variation de f sur $\left[0;+\infty \right[$.

   4. Conclure sur le problème posé.

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