sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. On suppose que le gain de base est 2 euros.

   1. Déterminer la loi de probabilité sur l'ensemble des résultats possibles.

      Les gains possibles sont : 2, $2^2$ ou $-2^3$.

      10% des jetons sont bleus, alors la probabilité de tirer un jeton bleu est égale à 0,1.

      Il y a trois fois plus de jetons blancs que de jetons bleus, alors la probabilité de tirer un jeton blanc est égale à 0,3.

      Il n'y a que trois issues possibles lors du tirage, alors la probabilité de tirer un jeton rouge est égale à $1-\left(\mathrm{0,1}+\mathrm{0,3}\right)=\mathrm{0,6}$.

      La loi de probabilité sur l'ensemble des résultats possibles est donc :

      Gain $x_i$	- 8	4	2
      $p\left(x_i\right)$	0,1	0,3	0,6

      ---

   2. Calculer le gain moyen que l'on peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages.

      Le gain moyen qu'un joueur peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages est l'espérance mathématique $\mu$ de la loi de probabilité des gains possibles : (Voir la définition) Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques x_i.
      L'espérance mathématique de cette loi est le nombre noté μ :$$\mu =x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}$$ $$\mu =-8\times \mathrm{0,1}+4\times \mathrm{0,3}+2\times \mathrm{0,6}=\mathrm{1,6}$$

      Le gain moyen que l'on peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages est de 1,60 euros.

      ---

2. On cherche à déterminer la valeur $g_0$ du gain de base, telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal. Le résultat sera arrondi au centime d'euro. Soit x le gain de base en euros.

   1. Montrer que le problème posé revient à étudier les éventuels extremums de la fonction f définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=-\mathrm{0,1}{x}^3+\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{0,6}x$.

      Si x est le gain de base en euros, les données de l'énoncé permettent de déterminer les montants des différents gains possibles :

      Un joueur tire un jeton au hasard.

      • S'il est rouge, il remporte le gain de base; soit un gain algébrique d'un montant égal à x.
      • S'il est blanc, il remporte le carré du gain de base ; soit un gain algébrique d'un montant égal à $x^2$.
      • S'il est bleu, il perd le cube du gain de base ; soit un gain algébrique d'un montant égal à $-x^3$.

      La loi de probabilité sur l'ensemble des résultats possibles est donc :

      Gain $x_i$	$-x^3$	$x^2$	x
      $p\left(x_i\right)$	0,1	0,3	0,6

      L'espérance mathématique de cette loi en fonction de x est $$\mu \left(x\right)=-\mathrm{0,1}{x}^3+\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{0,6}x$$.

      Or l'espérance mathématique représente le gain moyen qu'on peut "espérer" obtenir quand on répète un grand nombre de fois l'épreuve.

      Si on considère que le gain de base est un réel positif alors :

      Déterminer la valeur du gain de base, telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal, revient à chercher le maximum de la fonction f définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=-\mathrm{0,1}{x}^3+\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{0,6}x$.

      ---

   2. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$. Déterminer $f\prime \left(x\right)$.

      $f\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,1}\times 3x^2+\mathrm{0,3}\times 2x+\mathrm{0,6}$

      $f\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,3}{x}^2+\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,6}$

      ---

   3. En déduire le sens de variation de f sur $\left[0;+\infty \right[$.

      Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée. Étudions le signe de $f\prime \left(x\right)$.

      On pose : $\mathrm{\Delta }={\mathrm{0,6}}^2-4\times \left(-\mathrm{0,3}\right)\times \mathrm{0,6}=\mathrm{1,08}$. Les racines du polynôme du second degré sont : $$\begin{array}{ccc}{x}_1={\displaystyle \frac{\mathrm{0,6}-\mathrm{0,6}\sqrt{3}}{\mathrm{0,6}}}=1-\sqrt{3}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{\mathrm{0,6}+\mathrm{0,6}\sqrt{3}}{\mathrm{0,6}}}=1+\sqrt{3}\end{array}$$

      De plus le coefficient de $x^2$ est strictement négatif, d'après la règle donnant le signe d'un trinôme du second degré, on peut établir le signe de $f\prime \left(x\right)$ et en déduire le tableau des variations de la fonction f sur $\left[0;+\infty \right[$.

      x	0		$1+\sqrt{3}$		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	–
      Variations de f	0		$f\left(1+\sqrt{3}\right)$

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   4. Conclure sur le problème posé.

      Le maximum de la fonction f est atteint pour $x=1+\sqrt{3}$. Dont l'arrondi à 10^-2 près est 2,73.

      De plus $f\left(1+\sqrt{3}\right)=-\mathrm{0,1}\times {\left(1+\sqrt{3}\right)}^3+\mathrm{0,3}\times {\left(1+\sqrt{3}\right)}^2+\mathrm{0,6}\times \left(1+\sqrt{3}\right)\approx \mathrm{1,84}$

      Pour un gain de base de 2,73 euros, le gain moyen réalisé sur un grand nombre de parties est maximal et égal à 1,84 euros.

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