sujet : Polynésie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

1. 1. Déterminer graphiquement sur quel(s) intervalle(s) $\left({𝒞}_{f\prime }\right)$ est située en dessous de l'axe des abscisses.

      La courbe représentative de la fonction f, permet d'établir le tableau des variations de la fonction f.

      Graphiquement la fonction f admet un minimum pour $x=m$ avec $m\approx -\mathrm{0,8}$. Le maximum étant atteint pour $x=\mathrm{4,83}$

      x	– 2	$m\approx -\mathrm{0,8}$			4,83		10
      Variations de f					1,86

      La fonction f est dérivable et décroissante sur les intervalles $[-2;m]$ et $[\mathrm{4,83};10]$, alors pour tout réel x appartenant à $[-2;m]\cup [\mathrm{4,83};10]\text{, }f\prime \left(x\right)⩽0$.

      Avec une estimation graphique donnée à 0,25 près, la courbe $\left({𝒞}_{f\prime }\right)$ est située en dessous de l'axe des abscisses pour les points dont l'abscisse x appartient à l'ensemble $S=\left[-2;-\mathrm{0,8}\right]\cup \left[\mathrm{4,83};10\right]$.

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   2. Déterminer, en justifiant, l'équation réduite de la tangente à $\left({𝒞}_F\right)$ en A.

      F est la primitive de f qui s'annule en 1, alors pour tout réel x de l'intervalle $[-2;10]\text{, }F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

      Une équation de la tangente à la courbe $\left({𝒞}_F\right)$ en $A\left(5;\mathrm{5,43}\right)$ est :$$y=F\prime \left(5\right)\left(x-5\right)+F\left(5\right)$$

      Or $F\left(5\right)=\mathrm{5,43}$ et $F\prime \left(5\right)=f\left(5\right)$. Comme 5 est proche de 4,83 et que le graphique ne permet pas d'obtenir une valeur estimée à 0,25 plus précise, pn peut considérer que $f\left(5\right)\approx \mathrm{1,86}$. Par conséquent, la tangente à la courbe $\left({𝒞}_F\right)$ en A a pour équation :$$y=\mathrm{1,86}\left(x-5\right)+\mathrm{5,43}\iff y=\mathrm{1,86}x-\mathrm{4,47}$$

      La tangente à la courbe $\left({𝒞}_F\right)$ en A a pour équation $y=\mathrm{1,86}x-\mathrm{4,47}$.

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   3. Préciser, en justifiant, le sens de variation de F sur l'intervalle $\left[-2;10\right]$.

      F est la primitive de f qui s'annule en 1, alors pour tout réel x de l'intervalle $[-2;10]\text{, }F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de f sur l'intervalle $\left[-2;10\right]$.

      La courbe $\left({𝒞}_f\right)$ coupe l'axe des abscisses en deux points d'abscisses respectives : $a\approx -\mathrm{1,8}$ et $b\approx \mathrm{0,9}$

      D'où le tableau des variations de la fonction F :

      x	– 2		$a\approx -\mathrm{1,8}$		$b\approx \mathrm{0,9}$		10
      Signe de $f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	–	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      Variations de F

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2. 1. Déterminer ${\displaystyle {\int }_1^{5}f\left(t\right)\mathrm{d}t}$.

      F est la primitive de f qui s'annule en 1, alors :$${\displaystyle {\int }_1^{5}f\left(t\right)\mathrm{d}t}={\displaystyle {[F\left(t\right)]}_1^5}=F\left(5\right)-F\left(1\right)=\mathrm{5,43}$$

      ${\displaystyle {\int }_1^{5}f\left(t\right)\mathrm{d}t}=\mathrm{5,43}$

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   2. Rappeler la formule de la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle $[a;b]$ et donner une interprétation de cette notion dans le cas où f est positive.

      • définition :

        Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que a < b.
        On appelle valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b], le nombre :$$\mu ={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

      • interprétation graphique :

        Si $\mu$ est la valeur moyenne de la fonction f sur , alors :$$\begin{array}{rcl}\mu ={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& \iff & \mu \times \left(b-a\right)={\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\end{array}$$

        Or si f est une fonction positive sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ alors, l'intégrale ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe ${𝒞}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

        Dans le cas où f est une fonction positive sur l'intervalle $\left[a;b\right]$, la valeur moyenne $\mu$ est la hauteur du rectangle ABCD de base $\left(b-a\right)$, ayant la même aire $𝒜$ que le domaine compris entre la courbe ${𝒞}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

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   3. Donner la valeur moyenne de f sur l'intervalle $\left[1;5\right]$.

      La valeur moyenne de f sur l'intervalle $\left[1;5\right]$ est :$$\mu ={\displaystyle \frac{1}{5-1}}{\displaystyle {\int }_1^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{\mathrm{5,43}}{4}}=\mathrm{1,3575}$$

      La valeur moyenne de f sur l'intervalle $\left[1;5\right]$ est égale à 1,36 arrondie à 10^-2 près.

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