sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

L'espace est muni d'un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$.

La figure ci-dessous représente un pavé droit ; le point O est le milieu de $\left[AD\right]$.

Soit P le milieu du segment $\left[EF\right]$.

1. 1. Quel ensemble de points de l'espace a pour équation $z=2$ ?

      L'ensemble des points $M\left(x;y;z\right)$ tels que $z=a\left(a\in ℝ\right)$ est un plan parallèle au plan $\left(x\mathrm{O}y\right)$.

   2. Déterminer une équation du plan (ABF).

      Tout plan parallèle au plan $\left(y\mathrm{O}z\right)$ admet une équation de la forme :$$x=a\left(a\in ℝ\right)$$

   3. En déduire un système d'équations qui caractérise la droite (EF).

      Soit $𝒫$ et $𝒫\prime$ deux plans sécants d'équations respectives :$$ax+by+cz+d=0\text{ et }a\prime x+b\prime y+c\prime z+d\prime =0$$

      Leur intersection est la droite $𝒟$ admettant pour système d'équations cartésiennes :$$\{\begin{array}{c}ax+by+cz+d=0\\ a\prime x+b\prime y+c\prime z+d\prime =0\end{array}$$

2. 1. Quelles sont les coordonnées des points A, G et P?

   2. Placer sur la figure le point Q de coordonnées $\left(0;\mathrm{0,5};0\right)$.

   3. Déterminer une équation cartésienne du plan (APQ).

      L'espace est muni d'un repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$.
      Tout plan de l'espace admet une équation de la forme :$$ax+by+cz+d=0$$ avec l'un au moins des réels a, b ou c non nuls.

3. 1. Construire sur la figure les segments [PQ] et [AG].

   2. Le point G appartient-il au plan (APQ)? Justifier.

4. On construit la figure précédente à l'aide d'un logiciel de géométrie, puis on demande au logiciel de représenter le point d'intersection des droites (AG) et (PQ). Quelle pourrait être la réponse de l'ordinateur ?

   Les droites (AG) et (PQ) sont elles sécantes ?

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