sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. 1. Quel ensemble de points de l'espace a pour équation $z=2$ ?

      L'ensemble des points $M\left(x;y;z\right)$ tels que $z=2$ est un plan parallèle au plan $\left(x\mathrm{O}y\right)$.

      D'autre part les sommets E, F, G et H du parallélépipède rectangle ABCDEFGH ont la même cote $z=2$.

      L'ensemble de points de l'espace qui a pour équation $z=2$ est le plan EFGH.

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   2. Déterminer une équation du plan (ABF).

      Le plan (ABF) est parallèle au plan de base $\left(y\mathrm{O}z\right)$.

      Or tout plan parallèle au plan $\left(y\mathrm{O}z\right)$ admet une équation de la forme :$$x=a\left(a\in ℝ\right)$$

      D'autre part, l'abscisse du point A est égale à 1.

      Le plan (ABF) a pour équation $x=1$

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   3. En déduire un système d'équations qui caractérise la droite (EF).

      Soit $𝒫$ et $𝒫\prime$ deux plans sécants d'équations respectives :$$ax+by+cz+d=0\text{ et }a\prime x+b\prime y+c\prime z+d\prime =0$$

      Leur intersection est la droite $𝒟$ admettant pour système d'équations cartésiennes :$$\{\begin{array}{c}ax+by+cz+d=0\\ a\prime x+b\prime y+c\prime z+d\prime =0\end{array}$$

      Or la droite (EF) est l'intersection des plans (ABF) et (EFG) d'où

      la droite (EF) admet pour système d'équations cartésiennes :$\{\begin{array}{c}x=1\\ z=2\end{array}$

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2. 1. Quelles sont les coordonnées des points A, G et P?

      Les coordonnées des points A et G s'obtiennent par lecture graphique : $A\left(1;0;0\right)$ et $G\left(-1;1;2\right)$

      Le point P est le milieu du segment [EF] alors ses coordonnées sont $P\left({\displaystyle \frac{x_E+x_F}{2}};{\displaystyle \frac{y_E+y_F}{2}};{\displaystyle \frac{z_E+z_F}{2}}\right)$

      Or par lecture graphique, les coordonnées des points E et F sont : $E\left(1;0;2\right)$ et $F\left(1;1;2\right)$. D'où $P\left(1;{\displaystyle \frac{1}{2}};2\right)$

      Les coordonnées des points A, G et P sont : $A\left(1;0;0\right)\text{, }G\left(-1;1;2\right)\text{ et }P\left(1;{\displaystyle \frac{1}{2}};2\right)$.

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   2. Placer sur la figure le point Q de coordonnées $\left(0;\mathrm{0,5};0\right)$.

   3. Déterminer une équation cartésienne du plan (APQ).

      L'espace est muni d'un repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$.
      Tout plan de l'espace admet une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$ avec l'un au moins des réels a, b ou c non nuls.

      Les coordonnées des points $A\left(1;0;0\right)$, $P\left(1;{\displaystyle \frac{1}{2}};2\right)$ et $Q\left(0;\mathrm{0,5};0\right)$ vérifient l'équation du plan (APQ) d'où a, b, c et d sont solutions du système : $$\begin{array}{rcl}\{\begin{array}{rcl}a+d& =& 0\\ a+\mathrm{0,5}b+2c+d& =& 0\\ \mathrm{0,5}b+d& =& 0\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}a& =& -d\\ a+\mathrm{0,5}b+2c& =& -d\\ b& =& -2d\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}a& =& -d\\ b& =& -2d\\ -2d+2c& =& -d\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}a=-d\\ b=-2d\\ c=\mathrm{0,5}d\end{array}\end{array}$$

      En fixant $d=-2$, on obtient $a=2\text{, }b=4\text{ et }c=-1$

      D'où une équation du plan (APQ) : $2x+4y-z=2$.

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3. 1. Construire sur la figure les segments [PQ] et [AG].

   2. Le point G appartient-il au plan (APQ)? Justifier.

      Les coordonnées du point G sont $G\left(-1;1;2\right)$ et, $2\times \left(-1\right)+4\times 1-2=0$.

      Les coordonnées du point G ne vérifient pas l'équation du plan (APQ), donc le point G n'appartient pas au plan (APQ).

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4. On construit la figure précédente à l'aide d'un logiciel de géométrie, puis on demande au logiciel de représenter le point d'intersection des droites (AG) et (PQ). Quelle pourrait être la réponse de l'ordinateur ?

   La droite (PQ) est dans le plan (APQ). Comme le point G n'appartient pas au plan (APQ) alors, les droites (AG) et (PQ) ne sont pas coplanaires.

   Les droites (AG) et (PQ) ne sont pas coplanaires donc ces droites ne sont pas sécantes.

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