sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie et dérivable sur $\left[-2;10\right]$. La courbe $\left({𝒞}_f\right)$ ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormal.
On précise que le point d'abscisse 4,83 de $\left({𝒞}_f\right)$ a pour ordonnée 1,86 et que cette valeur est le maximum de la fonction f .
On note $\left({𝒞}_F\right)$ la courbe représentative de la primitive F de f qui s'annule en 1. On précise que le point $A\left(5;\mathrm{5,43}\right)$ appartient à $\left({𝒞}_F\right)$.
On note $\left({𝒞}_{f\prime }\right)$ la courbe représentative de la fonction dérivée de $f\prime$.

Toutes les estimations graphiques seront données à 0,25 près. Les résultats des calculs numériques seront arrondis à 10^-2.

1. 1. Déterminer graphiquement sur quel(s) intervalle(s) $\left({𝒞}_{f\prime }\right)$ est située en dessous de l'axe des abscisses.

      Si f est une fonction dérivable et décroissante sur un intervalle I, alors pour tout réel x appartenant à I $f\prime \left(x\right)⩽0$.

   2. Déterminer, en justifiant, l'équation réduite de la tangente à $\left({𝒞}_F\right)$ en A.

      F est la primitive de f qui s'annule en 1, alors pour tout réel x de l'intervalle $[-2;10]\text{, }F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   3. Préciser, en justifiant, le sens de variation de F sur l'intervalle $\left[-2;10\right]$.

2. 1. Déterminer ${\displaystyle {\int }_1^{5}f\left(t\right)\mathrm{d}t}$.

   2. Rappeler la formule de la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle $\left[a;b\right]$ et donner une interprétation de cette notion dans le cas où f est positive.

      Question de cours !

   3. Donner la valeur moyenne de f sur l'intervalle $\left[1;5\right]$.

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