sujet : asie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

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1. $f\left(\ln 2\right)=-3$.

   $$\begin{array}{llll}f\left(\ln 2\right)& =& {\mathrm{e}}^{-\ln 2}-1& \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^{\ln 2}}}-1& \left(\text{ou bien }{\mathrm{e}}^{\ln {\displaystyle \frac{1}{2}}}-1\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}-1& \text{Pour tout réel }x\text{ strictement positif, }{\mathrm{e}}^{\ln x}=x\\ & =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   L'affirmation a est FAUSSE.

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2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-1$.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-x}=0$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-1$.

   L'affirmation b est VRAIE.

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3. Pour tout nombre réel x, on a $f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}$.

   La dérivée de la fonction u définie sur $ℝ$ par $u\left(x\right)=-x$ est $u\prime \left(x\right)=-1$. Donc $f\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}$.

   L'affirmation c est FAUSSE.

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4. ${\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}>1$.

   • par lecture graphique

     ${\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire du domaine limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=-1$.
     Sur le graphique, cette aire est inférieure à l'unité d'aire donc ${\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<1$.

   • par le calcul

     $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\int }_{-1}^0\left({\mathrm{e}}^{-x}-1\right)\mathrm{d}x}\\ & =& {\displaystyle {\left[-{\mathrm{e}}^{-x}-x\right]}_{-1}^0}\\ & =& \left(-1\right)-\left(-{\mathrm{e}}^1+1\right)\\ & =& \mathrm{e}-2\approx \mathrm{0,718}\end{array}$$

   L'affirmation d est FAUSSE.

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5. La fonction F est croissante sur l'intervalle $\left[-1;0\right]$.

   Dire que F est une primitive de la fonction f sur $ℝ$, signifie que pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   Or d'après le graphique, la fonction f est positive sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right]$ donc la fonction F est croissante sur l'intervalle $\left[-1;0\right]$.

   L'affirmation e est VRAIE.

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6. Pour tout nombre réel x, on a $F\left(x\right)=1-{\mathrm{e}}^{-x}-x$.

   • 1^re Méthode : Vérifions que la fonction F convient.

     $F\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}-1$ donc F est une primitive de la fonction f.

     D'autre part, $F\left(0\right)=1-1=0$ ; d'où $F\left(x\right)=1-{\mathrm{e}}^{-x}-x$

   • 2^ème Méthode : Calculons la primitive F.

     Les primitives de f sont les fonctions F définies sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}-x+c$.

     Dire que $F\left(0\right)=0$ revient à dire que : $$\begin{array}{ccc}-1+c=0& \text{ d'où }& c=1\end{array}$$

     La primitive cherchée est donc la fonction F définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=1-{\mathrm{e}}^{-x}-x$.

   L'affirmation f est VRAIE.

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