Baccalauréat juin 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : asie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur par fx=e-x-1. La courbe (C) donnée ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormal.

On note f la fonction dérivée de la fonction f sur . On note F la primitive de la fonction f sur telle que F0=0.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si l'affirmation est vraie ou fausse. Aucune justification n'est demandée.

Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève, aucun point. Si le total des points est négatif , la note globale attribuée à l'exercice est 0.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


  1. fln2=-3.

    fln2=e-ln2-1=1eln2-1ou bien eln12-1=12-1 Pour tout réel x strictement positif, elnx=x=-12

    L'affirmation a est FAUSSE.


  2. limx+fx=-1.

    limx+e-x=0 donc limx+fx=-1.

    L'affirmation b est VRAIE.


  3. Pour tout nombre réel x, on a fx=e-x.

    La dérivée de la fonction u définie sur par ux=-x est ux=-1. Donc fx=-e-x.

    L'affirmation c est FAUSSE.


  4. -10fxdx>1.

    • par lecture graphique

      -10fxdx est l'aire du domaine limité par la courbe (C), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=-1.
      Sur le graphique, cette aire est inférieure à l'unité d'aire donc -10fxdx<1.

    • par le calcul

      -10fxdx=-10e-x-1dx=[-e-x-x]-10=-1--e1+1=e-20,718

    L'affirmation d est FAUSSE.


  5. La fonction F est croissante sur l'intervalle -10.

    Dire que F est une primitive de la fonction f sur , signifie que pour tout réel x, Fx=fx.

    Or d'après le graphique, la fonction f est positive sur l'intervalle -0 donc la fonction F est croissante sur l'intervalle -10.

    L'affirmation e est VRAIE.


  6. Pour tout nombre réel x, on a Fx=1-e-x-x.

    • 1re Méthode : Vérifions que la fonction F convient.

      Fx=e-x-1 donc F est une primitive de la fonction f.

      D'autre part, F0=1-1=0 ; d'où Fx=1-e-x-x

    • 2ème Méthode : Calculons la primitive F.

      Les primitives de f sont les fonctions F définies sur par Fx=-e-x-x+c.

      Dire que F0=0 revient à dire que : -1+c=0  d'où  c=1

      La primitive cherchée est donc la fonction F définie sur par Fx=1-e-x-x.

    L'affirmation f est VRAIE.



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