sujet : asie

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une roue de loterie comporte trois secteurs notés A, B et C.
On lance la roue, elle tourne puis s'arrête devant un repère fixe.
Le mécanisme est conçu de telle sorte que, à l'arrêt de la roue, le repère fixe se trouve toujours devant l'un des trois secteurs, qui est alors déclaré «secteur repéré».
On note $p_1$ la probabilité que le secteur A soit repéré. On donne $p_1=\mathrm{0,2}$.
On note $p_2$ la probabilité que le secteur B soit repéré. On donne $p_2=\mathrm{0,3}$.

1. Calculer la probabilité, notée $p_3$, que le secteur C soit repéré.

   Il n'y a que trois issues possibles par conséquent, $$\begin{array}{rll}{p}_1+p_2+p_3=1& \iff & p_3=1-p_1-p_2\\ \text{Soit}& & p_3=1-\mathrm{0,2}-\mathrm{0,3}\\ & \iff & p_3=\mathrm{0,5}\end{array}$$

   La probabilité que le secteur C soit repéré est $p_3=\mathrm{0,5}$.

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   Une partie consiste à lancer la roue deux fois successivement. On s'intéresse aux couples de secteurs repérés obtenus à la suite des deux lancers successifs.
   On admet que les lancers de roues successifs sont indépendants.

2. Justifier que la probabilité d'obtenir le couple de secteurs repérés (A, B) est égale à 0,06.

   Les lancers de roues successifs sont indépendants alors, la probabilité que la roue repère le secteur B au deuxième lancer sachant que le secteur A a été repéré au premier lancer est égale à la probabilité que le secteur B soit repéré. Soit : $$p_A\left(B\right)=p_2$$

   Donc la probabilité d'obtenir le couple de secteurs repérés (A, B) est : $$\begin{array}{lll}p\left(A\cap B\right)& =& p_A\left(B\right)\times p_1\\ & =& p_2\times p_1\\ & =& \mathrm{0,3}\times \mathrm{0,2}\\ & =& \mathrm{0,06}\end{array}$$

   La probabilité d'obtenir le couple de secteurs repérés (A, B) est égale à 0,06.

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3. Compléter le tableau suivant par les probabilités d'obtenir les différents couples de secteurs repérés possibles. Certaines probabilités sont déjà indiquées, ainsi la probabilité d'obtenir le couple (C,C) est égale à 0,25.

   Notons : A l'évènement "le secteur A est repéré" ; B l'évènement "le secteur B est repéré" et C l'évènement "le secteur C est repéré".

   Les deux lancers successifs peuvent être représentés par l'arbre probabiliste ci-dessous :

   D'où le tableau :

   	A	B	C
   A	0,04	0,06	0,1
   B	0,06	0,09	0,15
   C	0,1	0,15	0,25

4. Montrer que la probabilité d'obtenir un couple de secteurs repérés ne comportant pas le secteur C est égale à 0,25.

   La probabilité d'obtenir un couple de secteurs repérés ne comportant pas le secteur C est : $$\begin{array}{lll}p& =& p\left(A,A\right)+p\left(A,B\right)+p\left(B,A\right)+p\left(B,B\right)\\ & =& \mathrm{0,04}+\mathrm{0,06}+\mathrm{0,06}+\mathrm{0,09}\\ & =& \mathrm{0,25}\end{array}$$

   La probabilité d'obtenir un couple de secteurs repérés ne comportant pas le secteur C est égale à 0,25.

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5. De l'argent est mis en jeu dans cette partie. Le gain dépend du nombre de secteurs C repérés :

   • obtenir deux fois le secteur C fait gagner huit euros ;
   • obtenir exactement une fois le secteur C fait gagner un euro ;
   • n'obtenir aucun secteur C fait perdre dix euros.

   1. Recopier sur la copie et compléter le tableau suivant :

      D'après la question précédente, la probabilité d'obtenir un couple de secteurs repérés ne comportant pas le secteur C est égale à 0,25. Donc, la probabilité de perdre 10 € est égale à 0,25.

      Il s'ensuit, que la probabilité de gagner 1 € est : $$\begin{array}{lll}p\left(\mathrm{Gain}=1\right)& =& 1-p\left(\mathrm{Gain}=-10\right)-p\left(\mathrm{Gain}=8\right)\\ & =& 1-\mathrm{0,25}-\mathrm{0,25}\\ & =& \mathrm{0,5}\end{array}$$

      D'où la loi de probabilité du gain à ce jeu :

      Gain (en euros)	$-10$	1	8
      Probabilité	0,25	0,5	0,25

   2. Calculer le gain moyen que l'on peut espérer à ce jeu. Interpréter ce résultat.

      L'espérance mathématique $\mu$ de la loi de probabilité du gain est d'après la définition : Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques $x_i$. L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ :$$\mu =x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}$$

      $$\mu =-10\times \mathrm{0,25}+1\times \mathrm{0,5}+8\times \mathrm{0,25}=0$$

      Le gain moyen que l'on peut espérer à ce jeu est nul, le jeu est donc équitable.

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