Une roue de loterie comporte trois secteurs notés A, B et C.
On lance la roue, elle tourne puis s'arrête devant un repère fixe.
Le mécanisme est conçu de telle sorte que, à l'arrêt de la roue, le repère fixe se trouve toujours devant l'un des trois secteurs, qui est alors déclaré «secteur repéré».
On note la probabilité que le secteur A soit repéré. On donne .
On note la probabilité que le secteur B soit repéré. On donne .
Calculer la probabilité, notée , que le secteur C soit repéré.
Il n'y a que trois issues possibles par conséquent,
La probabilité que le secteur C soit repéré est .
Une partie consiste à lancer la roue deux fois successivement. On s'intéresse aux couples de secteurs repérés obtenus à la suite des deux lancers successifs.
On admet que les lancers de roues successifs sont indépendants.
Justifier que la probabilité d'obtenir le couple de secteurs repérés (A, B) est égale à 0,06.
Les lancers de roues successifs sont indépendants alors, la probabilité que la roue repère le secteur B au deuxième lancer sachant que le secteur A a été repéré au premier lancer est égale à la probabilité que le secteur B soit repéré. Soit :
Donc la probabilité d'obtenir le couple de secteurs repérés (A, B) est :
La probabilité d'obtenir le couple de secteurs repérés (A, B) est égale à 0,06.
Compléter le tableau suivant par les probabilités d'obtenir les différents couples de secteurs repérés possibles. Certaines probabilités sont déjà indiquées, ainsi la probabilité d'obtenir le couple (C,C) est égale à 0,25.
Notons : A l'évènement "le secteur A est repéré" ; B l'évènement "le secteur B est repéré" et C l'évènement "le secteur C est repéré".
Les deux lancers successifs peuvent être représentés par l'arbre probabiliste ci-dessous :
D'où le tableau :
A | B | C | |
A | 0,04 | 0,06 | 0,1 |
B | 0,06 | 0,09 | 0,15 |
C | 0,1 | 0,15 | 0,25 |
Montrer que la probabilité d'obtenir un couple de secteurs repérés ne comportant pas le secteur C est égale à 0,25.
La probabilité d'obtenir un couple de secteurs repérés ne comportant pas le secteur C est :
La probabilité d'obtenir un couple de secteurs repérés ne comportant pas le secteur C est égale à 0,25.
De l'argent est mis en jeu dans cette partie. Le gain dépend du nombre de secteurs C repérés :
Recopier sur la copie et compléter le tableau suivant :
D'après la question précédente, la probabilité d'obtenir un couple de secteurs repérés ne comportant pas le secteur C est égale à 0,25. Donc, la probabilité de perdre 10 € est égale à 0,25.
Il s'ensuit, que la probabilité de gagner 1 € est :
D'où la loi de probabilité du gain à ce jeu :
Gain (en euros) | 1 | 8 | |
Probabilité | 0,25 | 0,5 | 0,25 |
Calculer le gain moyen que l'on peut espérer à ce jeu. Interpréter ce résultat.
L'espérance mathématique de la loi de probabilité du gain est d'après la définition : Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques . L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ :
Le gain moyen que l'on peut espérer à ce jeu est nul, le jeu est donc équitable.
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