Baccalauréat juin 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : asie

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une roue de loterie comporte trois secteurs notés A, B et C.
On lance la roue, elle tourne puis s'arrête devant un repère fixe.
Le mécanisme est conçu de telle sorte que, à l'arrêt de la roue, le repère fixe se trouve toujours devant l'un des trois secteurs, qui est alors déclaré «secteur repéré».
On note p1 la probabilité que le secteur A soit repéré. On donne p1=0,2.
On note p2 la probabilité que le secteur B soit repéré. On donne p2=0,3.

  1. Calculer la probabilité, notée p3, que le secteur C soit repéré.

    Il n'y a que trois issues possibles par conséquent, p1+p2+p3=1p3=1-p1-p2Soitp3=1-0,2-0,3p3=0,5

    La probabilité que le secteur C soit repéré est p3=0,5.


    Une partie consiste à lancer la roue deux fois successivement. On s'intéresse aux couples de secteurs repérés obtenus à la suite des deux lancers successifs.
    On admet que les lancers de roues successifs sont indépendants.

  2. Justifier que la probabilité d'obtenir le couple de secteurs repérés (A, B) est égale à 0,06.

    Les lancers de roues successifs sont indépendants alors, la probabilité que la roue repère le secteur B au deuxième lancer sachant que le secteur A a été repéré au premier lancer est égale à la probabilité que le secteur B soit repéré. Soit : pAB=p2

    Donc la probabilité d'obtenir le couple de secteurs repérés (A, B) est : pAB=pAB×p1=p2×p1=0,3×0,2=0,06

    La probabilité d'obtenir le couple de secteurs repérés (A, B) est égale à 0,06.


  3. Compléter le tableau suivant par les probabilités d'obtenir les différents couples de secteurs repérés possibles. Certaines probabilités sont déjà indiquées, ainsi la probabilité d'obtenir le couple (C,C) est égale à 0,25.

    Notons : A l'évènement "le secteur A est repéré" ; B l'évènement "le secteur B est repéré" et C l'évènement "le secteur C est repéré".

    Les deux lancers successifs peuvent être représentés par l'arbre probabiliste ci-dessous :

    Arbre de probabilité : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    D'où le tableau :

    A B C
    A 0,04 0,06 0,1
    B 0,06 0,09 0,15
    C 0,1 0,15 0,25
  4. Montrer que la probabilité d'obtenir un couple de secteurs repérés ne comportant pas le secteur C est égale à 0,25.

    La probabilité d'obtenir un couple de secteurs repérés ne comportant pas le secteur C est : p=pAA+pAB+pBA+pBB =0,04+0,06+0,06+0,09=0,25

    La probabilité d'obtenir un couple de secteurs repérés ne comportant pas le secteur C est égale à 0,25.


  5. De l'argent est mis en jeu dans cette partie. Le gain dépend du nombre de secteurs C repérés :

    • obtenir deux fois le secteur C fait gagner huit euros ;
    • obtenir exactement une fois le secteur C fait gagner un euro ;
    • n'obtenir aucun secteur C fait perdre dix euros.
    1. Recopier sur la copie et compléter le tableau suivant :

      D'après la question précédente, la probabilité d'obtenir un couple de secteurs repérés ne comportant pas le secteur C est égale à 0,25. Donc, la probabilité de perdre 10 € est égale à 0,25.

      Il s'ensuit, que la probabilité de gagner 1 € est : pGain=1=1 -pGain=-10-pGain=8 =1 -0,25 -0,25 =0,5

      D'où la loi de probabilité du gain à ce jeu :

      Gain (en euros) -10 1 8
      Probabilité 0,25 0,5 0,25
    2. Calculer le gain moyen que l'on peut espérer à ce jeu. Interpréter ce résultat.

      L'espérance mathématique μ de la loi de probabilité du gain est d'après la définition : Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques xi. L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ :μ=x1p1+x2p2++xnpn=i=1nxipi

      μ=-10 ×0,25+1 × 0,5 +8 ×0,25 =0

      Le gain moyen que l'on peut espérer à ce jeu est nul, le jeu est donc équitable.



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