Baccalauréat juin 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : asie

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère les fonctions f et g définies sur l'intervalle 0+ par : fx=ex-1etgx=3ex+1

Les fonctions f et g sont dérivables sur l'intervalle 0+.
Le plan est rapporté un repère orthonormal (O;ı,ȷ).

  1. La fonction f est représentée par la courbe (C) figurant ci-dessous.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Donner une équation de la tangente T à cette courbe au point O origine du repère.

    2. Tracer la droite T dans le repère (O;ı,ȷ) donné.

  2. étude de la fonction g

    1. Calculer g0.

    2. Déterminer la limite de la fonction g en + ∞. En donner une interprétation graphique.

    3. Étudier les variations de la fonction g sur l'intervalle 0+ et dresser son tableau de variations.

      Utiliser le théorème sur les variations des fonctions composées :

      I et J sont deux intervalles. f est une fonction strictement monotone et définie sur I et à valeurs dans J. g est une fonction définie et strictement monotone sur J.
      — Si f et g ont le même sens de variation ( f sur I et g sur J ), alors gf est strictement croissante sur I.
      — Si f et g ont des sens de variation différents ( f sur I et g sur J ), alors gf est strictement décroissante sur I.

    4. Tracer la représentation graphique de la fonction g dans le repère (O;ı,ȷ) donné.

  3. La lecture graphique montre que l'équation fx=gx admet dans l'intervalle 0+ une unique solution, notée m.

    1. Faire figurer sur le graphique le point de coordonnées mfm.

    2. Prouver, par le calcul, que m=ln2.

      m est solution de l'équation : fx=gxfx-gx=0

  4. On considère le nombre suivant :A=0ln2gxdx

    1. Sur le graphique précédent, hachurer le domaine dont l'aire, en en unités d'aires, est égale à A.

    2. Soit la fonction dérivable G définie sur l'intervalle 0+ par : Gx=3x-3lnex+1 Montrer que la fonction G est une primitive de la fonction g sur l'intervalle 0+.

      Dire que G est une primitive de g sur 0+ signifie que pour tout réel x positif, Gx=gx.

    3. Calculer A.


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