sujet : asie

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère les fonctions f et g définies sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par : $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)={\mathrm{e}}^x-1& \text{et}& g\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{{\mathrm{e}}^x+1}}\end{array}$$

Les fonctions f et g sont dérivables sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.
Le plan est rapporté un repère orthonormal $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ})$.

1. La fonction f est représentée par la courbe (C) figurant ci-dessous.

   1. Donner une équation de la tangente T à cette courbe au point O origine du repère.

   2. Tracer la droite T dans le repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ})$ donné.

2. étude de la fonction g

   1. Calculer $g\left(0\right)$.

   2. Déterminer la limite de la fonction g en $+\infty$. En donner une interprétation graphique.

   3. Étudier les variations de la fonction g sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ et dresser son tableau de variations.

      Utiliser le théorème sur les variations des fonctions composées :

      I et J sont deux intervalles. f est une fonction strictement monotone et définie sur I et à valeurs dans J. g est une fonction définie et strictement monotone sur J.
      — Si f et g ont le même sens de variation ( f sur I et g sur J ), alors $g\circ f$ est strictement croissante sur I.
      — Si f et g ont des sens de variation différents ( f sur I et g sur J ), alors $g\circ f$ est strictement décroissante sur I.

   4. Tracer la représentation graphique de la fonction g dans le repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ})$ donné.

3. La lecture graphique montre que l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ admet dans l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ une unique solution, notée m.

   1. Faire figurer sur le graphique le point de coordonnées $\left(m;f\left(m\right)\right)$.

   2. Prouver, par le calcul, que $m=\ln 2$.

      m est solution de l'équation : $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)=g\left(x\right)& \iff & f\left(x\right)-g\left(x\right)=0\end{array}$$

4. On considère le nombre suivant :$$A={\displaystyle {\int }_0^{\ln 2}g\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

   1. Sur le graphique précédent, hachurer le domaine dont l'aire, en en unités d'aires, est égale à A.

   2. Soit la fonction dérivable G définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par : $$G\left(x\right)=3x-3\ln \left({\mathrm{e}}^x+1\right)$$ Montrer que la fonction G est une primitive de la fonction g sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

      Dire que G est une primitive de g sur $\left[0;+\infty \right[$ signifie que pour tout réel x positif, $G\prime \left(x\right)=g\left(x\right)$.

   3. Calculer A.

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