Baccalauréat juin 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : asie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le tableau suivant donne l'évolution du profit annuel d'une entreprise de l'année 1999 à l'année 2005.

Année	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Rang de l'année $(x_{i})$	1	2	3	4	5	6	7
Profit annuel en millions d'euros $(y_{i})$	1,26	1,98	2,28	2,62	2,84	3,00	3,20

Construire le nuage de points associé à la série $(x_{i}; y_{i})$ dans le repère orthogonal représenté ci-dessous.
La forme du nuage suggère un ajustement logarithmique. On décide donc d'étudier la série $(x_{i}; z_{i})$ où $z_{i} = e^{y_{i}}$ .
Recopier et compléter le tableau ci-dessous par les valeurs décimales arrondies au centième.

L'arrondi au centième de $e^{1,98}$ est 7,24. L'arrondi au centième de $e^{2,28}$ est 9,78.

$x_{i}$ 1 2 3 4 5 6 7

$z_{i} = e^{y_{i}}$ 3,53 7,24 9,78 13,74 17,12 20,09 24,53
Donner l'équation de la droite de régression de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Les résultats obtenus à la calculatrice seront arrondis au centième (avec ces arrondis, on obtient une équation de la forme $z = a x$ ).

Une équation de la droite de régression D de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à la calculatrice est : $z = 3,43 x - 0,00142...$

Avec un arrondi au centième près des coefficients la droite D a pour équation $z = 3,43 x$ .
En déduire que la courbe d'équation $y = \ln (x) + 1,23$ approche le nuage de points.

$z_{i} = e^{y_{i}}$ et $z = 3,43 x$ alors pour tout réel x strictement positif, $e^{y} = 3,43 x$

Soit pour tout réel x strictement positif, $\begin{matrix} \ln (e^{y}) = \ln (3,43 x) & \Leftrightarrow & y = \ln (x) + \ln 3,43 \end{matrix}$

Or l'arrondi au centième de $\ln 3,43$ est 1,23. Donc

La courbe d'équation $y = \ln (x) + 1,23$ approche le nuage de points.
On suppose que l'évolution du profit annuel se poursuit suivant ce modèle.
1. Calculer le profit annuel, exprimé en millions d'euros, attendu pour l'année 2008 (donner la valeur décimale arrondie au centième).
  
  Le rang de l'année 2008 est 10. Une estimation du profit annuel à partir du modèle précédent est donc : $y_{10} = \ln (10) + 1,23$
  
  Le profit annuel attendu pour l'année 2008 est de 3,53 millions d'euros.
2. Déterminer à partir de quelle année le profit annuel initial (c'est-à-dire celui de l'année 1999) aura au moins triplé.
  
  Le profit annuel initial aura au moins triplé pour le plus petit rang x tel que $\begin{array}{l} \ln (x) + 1,23 ⩾ 3 \times 1,26 & \Leftrightarrow & \ln (x) ⩾ 3,78 - 1,23 \\ \Leftrightarrow & x ⩾ e^{2,55} \end{array}$
  
  Or l'arrondi au centième de $e^{2,55}$ est égal à 12,81 donc le rang de l'année à partir duquel le profit annuel aura au moins triplé est 13.
  
  Le profit annuel initial aura au moins triplé à partir de 2011.

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$x_{i}$	1	2	3	4	5	6	7
$z_{i} = e^{y_{i}}$	3,53	7,24	9,78	13,74	17,12	20,09	24,53