sujet : asie

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une roue de loterie comporte trois secteurs notés A, B et C.
On lance la roue, elle tourne puis s'arrête devant un repère fixe.
Le mécanisme est conçu de telle sorte que, à l'arrêt de la roue, le repère fixe se trouve toujours devant l'un des trois secteurs, qui est alors déclaré «secteur repéré».
On note $p_1$ la probabilité que le secteur A soit repéré. On donne $p_1=\mathrm{0,2}$.
On note $p_2$ la probabilité que le secteur B soit repéré. On donne $p_2=\mathrm{0,3}$.

1. Calculer la probabilité, notée $p_3$, que le secteur C soit repéré.

   Une partie consiste à lancer la roue deux fois successivement. On s'intéresse aux couples de secteurs repérés obtenus à la suite des deux lancers successifs.
   On admet que les lancers de roues successifs sont indépendants.

2. Justifier que la probabilité d'obtenir le couple de secteurs repérés (A, B) est égale à 0,06.

   Les lancers de roues successifs sont indépendants alors, la probabilité que la roue repère le secteur B au deuxième lancer sachant que le secteur A a été repéré au premier lancer est égale à la probabilité que le secteur B soit repéré.

3. Compléter le tableau suivant par les probabilités d'obtenir les différents couples de secteurs repérés possibles. Certaines probabilités sont déjà indiquées, ainsi la probabilité d'obtenir le couple (C,C) est égale à 0,25.

   	Secteur repéré au premier lancer	A	B	C
   Secteur repéré au deuxième lancer
   A		0,04
   B		0,06
   C				0,25

4. Montrer que la probabilité d'obtenir un couple de secteurs repérés ne comportant pas le secteur C est égale à 0,25.

5. De l'argent est mis en jeu dans cette partie. Le gain dépend du nombre de secteurs C repérés :

   • obtenir deux fois le secteur C fait gagner huit euros ;
   • obtenir exactement une fois le secteur C fait gagner un euro ;
   • n'obtenir aucun secteur C fait perdre dix euros.

   1. Recopier sur la copie et compléter le tableau suivant :

      Gain (en euros)	$-10$	1	8
      Probabilité			0,25

   2. Calculer le gain moyen que l'on peut espérer à ce jeu. Interpréter ce résultat.

      Définition :

      Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques $x_i$. L'espérance mathématique de cette loi est le nombre réel μ :$$\mu =x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}$$

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