sujet : asie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère les fonctions f et g définies sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par : $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)={\mathrm{e}}^x-1& \text{et}& g\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{{\mathrm{e}}^x+1}}\end{array}$$
Les fonctions f et g sont dérivables sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$. Le plan est rapporté un repère orthonormal $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ})$.

1. La fonction f est représentée par la courbe (C) figurant ci-dessous.

   1. Donner une équation de la tangente T à cette courbe au point O origine du repère.

      Soit $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

      Une équation de la tangente T à la courbe (C) au point O est :$$y=f\prime \left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)$$

      Or, sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ $f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x$ . D'où $f\prime \left(0\right)={\mathrm{e}}^0=1$.

      D'autre part, $f\left(0\right)={\mathrm{e}}^0-1=0$

      La tangente T à la courbe au point O origine du repère a pour équation $y=x$.

      ---

   2. Tracer la droite T dans le repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ})$ donné.

2. étude de la fonction g

   1. Calculer $g\left(0\right)$.

      $$g\left(0\right)={\displaystyle \frac{3}{{\mathrm{e}}^0+1}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$$

      Ainsi, $g\left(0\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}$.

      ---

   2. Déterminer la limite de la fonction g en $+\infty$. En donner une interprétation graphique.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=+\infty$ alors, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x+1=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{3}{X}}=0$.

      Donc d'après le théorème des limites des fonctions composées, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{3}{{\mathrm{e}}^x+1}}=0$.

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$ donc la courbe représentative de la fonction g admet pour asymptote l'axe des abscisses en $+\infty$.

      ---

   3. Étudier les variations de la fonction g sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ et dresser son tableau de variations.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ posons : $$\begin{array}{ccc}u\left(x\right)={\mathrm{e}}^x+1& \text{et}& h\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{x}}\end{array}$$

      Alors, g est la fonction composée de la fonction u suivie de la fonction h.

      La fonction exponentielle étant strictement croissante sur $ℝ$, il s'ensuit que la fonction u est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

      D'autre part, pour tout réel strictement positif, ${\mathrm{e}}^x+1>0$.

      La fonction h étant strictement décroissante sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, d'après le théorème sur les variations des fonctions composées : I et J sont deux intervalles. f est une fonction strictement monotone et définie sur I et à valeurs dans J. g est une fonction définie et strictement monotone sur J.
      — Si f et g ont le même sens de variation ( f sur I et g sur J ), alors $g\circ f$ est strictement croissante sur I.
      — Si f et g ont des sens de variation différents ( f sur I et g sur J ), alors $g\circ f$ est strictement décroissante sur I.

      La fonction g est strictement strictement décroissante sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$

      ---

      D'où le tableau des variations de la fonction g

      x	0		$+\infty$
      Variations de g	${\displaystyle \frac{3}{2}}$		0

      remarque :

      L'étude du signe de la dérivée de la fonction g permet également de conclure :

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, posons $u\left(x\right)={\mathrm{e}}^x+1$. Alors, g est de la forme $\begin{array}{ccc}g={\displaystyle \frac{3}{u}}& \text{d'où}& g\prime =-{\displaystyle \frac{3u\prime }{u^2}}\end{array}$.

      $u\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x$ donc $g\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3{\mathrm{e}}^x}{{\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2}}$.

      Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$. Donc : $-{\displaystyle \frac{3{\mathrm{e}}^x}{{\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2}}<0$.

      Ainsi, sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $g\prime \left(x\right)<0$ donc la fonction g est strictement décroissante sur cet intervalle.

      ---

   4. Tracer la représentation graphique de la fonction g dans le repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ})$ donné.

3. La lecture graphique montre que l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ admet dans l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ une unique solution, notée m.

   1. Faire figurer sur le graphique le point de coordonnées $\left(m;f\left(m\right)\right)$.

   2. Prouver, par le calcul, que $m=\ln 2$.

      m est solution de l'équation $f\left(x\right)-g\left(x\right)=0$ soit : $$\begin{array}{lll}{\mathrm{e}}^x-1-{\displaystyle \frac{3}{{\mathrm{e}}^x+1}}=0& \iff & {\displaystyle \frac{\left({\mathrm{e}}^x-1\right)\left({\mathrm{e}}^x+1\right)-3}{{\mathrm{e}}^x+1}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{2x}-1-3}{{\mathrm{e}}^x+1}}=0\\ & \iff & {\mathrm{e}}^{2x}-4=0\\ & \iff & \ln \left({\mathrm{e}}^{2x}\right)=\ln 4\\ & \iff & 2x=2\ln 2\\ & \iff & x=\ln 2\end{array}$$

      La solution de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ est $x=\ln 2$.

      ---

4. On considère le nombre suivant :$A={\displaystyle {\int }_0^{\ln 2}g\left(x\right)\mathrm{d}x}$

   1. Sur le graphique précédent, colorier le domaine dont l'aire, en en unités d'aires, est égale à A.

      La fonction g est continue et positive sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire : Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

      L'aire en unités d'aire du domaine D délimité par la courbe (Γ) représentative de la fonction g, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=\ln 2$ est égale à l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{\ln 2}g\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   2. Soit la fonction dérivable G définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $G\left(x\right)=3x-3\ln \left({\mathrm{e}}^x+1\right)$.
      Montrer que la fonction G est une primitive de la fonction g sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

      Dire que G est une primitive de g sur $\left[0;+\infty \right[$ signifie que pour tout réel x positif, $G\prime \left(x\right)=g\left(x\right)$.

      Or la fonction G définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $G\left(x\right)=3x-3\ln \left({\mathrm{e}}^x+1\right)$ est dérivable comme somme de fonctions dérivables.

      Pour calculer la dérivée de la fonction G, nous sommes amenés à déterminer la dérivée de la fonction composée v définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $v\left(x\right)=\ln \left({\mathrm{e}}^x+1\right)$.

      v est de la forme $v=\ln \left(u\right)$, d'où $v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{u\prime \left(x\right)}{u\left(x\right)}}$ avec $u\left(x\right)={\mathrm{e}}^x+1$ et $u\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x$. Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ : $$v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x+1}}$$

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ $$\begin{array}{lll}G\prime \left(x\right)& =& 3-{\displaystyle \frac{3{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x+1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3\left({\mathrm{e}}^x+1\right)-3{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x+1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{{\mathrm{e}}^x+1}}\end{array}$$

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $G\prime \left(x\right)=g\left(x\right)$ alors G est une primitive de la fonction g sur cet intervalle.

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   3. Calculer A.

      $$\begin{array}{lll}A={\displaystyle {\int }_0^{\ln 2}g\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[G\left(x\right)\right]}_0^{\ln 2}}\\ & =& {\displaystyle {\left[3x-3\ln \left({\mathrm{e}}^x+1\right)\right]}_0^{\ln 2}}\\ & =& \left[3\ln 2-3\ln \left({\mathrm{e}}^{\ln 2}+1\right)\right]-\left[3\times 0-3\ln \left({\mathrm{e}}^0+1\right)\right]\\ & =& 3\ln 2-3\ln 3+3\ln 2\\ & =& 6\ln 2-3\ln 3\end{array}$$

      $A={\displaystyle {\int }_0^{\ln 2}g\left(x\right)\mathrm{d}x}=6\ln 2-3\ln 3$.

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