Baccalauréat juin 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : asie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère les fonctions f et g définies sur l'intervalle 0+ par : fx=ex-1etgx=3ex+1
Les fonctions f et g sont dérivables sur l'intervalle 0+. Le plan est rapporté un repère orthonormal (O;ı,ȷ).

  1. La fonction f est représentée par la courbe (C) figurant ci-dessous.

    1. Donner une équation de la tangente T à cette courbe au point O origine du repère.

      Soit f la dérivée de la fonction f.

      Une équation de la tangente T à la courbe (C) au point O est :y=f0x-0+f0

      Or, sur l'intervalle 0+fx=ex . D'où f0=e0=1.

      D'autre part, f0=e0-1=0

      La tangente T à la courbe au point O origine du repère a pour équation y=x.


    2. Tracer la droite T dans le repère (O;ı,ȷ) donné.

      Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. étude de la fonction g

    1. Calculer g0.

      g0=3e0+1=32

      Ainsi, g0=32.


    2. Déterminer la limite de la fonction g en +. En donner une interprétation graphique.

      limx+ex=+ alors, limx+ex+1=+ et limX+3X=0.

      Donc d'après le théorème des limites des fonctions composées, limx+3ex+1=0.

      Ainsi, limx+gx=0 donc la courbe représentative de la fonction g admet pour asymptote l'axe des abscisses en +.


    3. Étudier les variations de la fonction g sur l'intervalle 0+ et dresser son tableau de variations.

      Pour tout réel x de l'intervalle 0+ posons : ux=ex+1ethx=3x

      Alors, g est la fonction composée de la fonction u suivie de la fonction h.

      La fonction exponentielle étant strictement croissante sur , il s'ensuit que la fonction u est strictement croissante sur l'intervalle 0+.

      D'autre part, pour tout réel strictement positif, ex+1>0.

      La fonction h étant strictement décroissante sur l'intervalle 0+, d'après le théorème sur les variations des fonctions composées : I et J sont deux intervalles. f est une fonction strictement monotone et définie sur I et à valeurs dans J. g est une fonction définie et strictement monotone sur J.
      — Si f et g ont le même sens de variation ( f sur I et g sur J ), alors gf est strictement croissante sur I.
      — Si f et g ont des sens de variation différents ( f sur I et g sur J ), alors gf est strictement décroissante sur I.

      La fonction g est strictement strictement décroissante sur l'intervalle 0+


      D'où le tableau des variations de la fonction g

      x 0   +
       Variations de g 

      32

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      0

      remarque :

      L'étude du signe de la dérivée de la fonction g permet également de conclure :

      Pour tout réel x de l'intervalle 0+, posons ux=ex+1. Alors, g est de la forme g=3u d'où g=-3uu2.

      ux=ex donc gx=-3exex+12.

      Or pour tout réel x, ex>0. Donc : -3exex+12<0.

      Ainsi, sur l'intervalle 0+, gx<0 donc la fonction g est strictement décroissante sur cet intervalle.


    4. Tracer la représentation graphique de la fonction g dans le repère (O;ı,ȷ) donné.

      Courbes représentatives des fonctions f et g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. La lecture graphique montre que l'équation fx=gx admet dans l'intervalle 0+ une unique solution, notée m.

    1. Faire figurer sur le graphique le point de coordonnées mfm.

      Intersection des courbes représentatives des fonctions f et g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Prouver, par le calcul, que m=ln2.

      m est solution de l'équation fx-gx=0 soit : ex-1-3ex+1=0ex-1ex+1-3ex+1=0e2x-1-3ex+1=0e2x-4=0lne2x=ln42x=2ln2x=ln2

      La solution de l'équation fx=gx est x=ln2.


  4. On considère le nombre suivant :A=0ln2gxdx

    1. Sur le graphique précédent, colorier le domaine dont l'aire, en en unités d'aires, est égale à A.

      La fonction g est continue et positive sur l'intervalle 0+ alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire : Soit a et b deux réels tels que ab, f une fonction définie et continue sur l'intervalle ab et 𝒞 sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;ı,ȷ) .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle ab,  fx0, alors abfxdx est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.

      L'aire en unités d'aire du domaine D délimité par la courbe (Γ) représentative de la fonction g, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=ln2 est égale à l'intégrale 0ln2gxdx.

      Aire sous la courbe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Soit la fonction dérivable G définie sur l'intervalle 0+ par Gx=3x-3lnex+1.
      Montrer que la fonction G est une primitive de la fonction g sur l'intervalle 0+.

      Dire que G est une primitive de g sur 0+ signifie que pour tout réel x positif, Gx=gx.

      Or la fonction G définie sur 0+ par Gx=3x-3lnex+1 est dérivable comme somme de fonctions dérivables.

      Pour calculer la dérivée de la fonction G, nous sommes amenés à déterminer la dérivée de la fonction composée v définie sur l'intervalle 0+ par vx=lnex+1.

      v est de la forme v=lnu, d'où vx=uxux avec ux=ex+1 et ux=ex. Soit pour tout réel x de l'intervalle 0+ : vx=exex+1

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle 0+Gx=3-3exex+1=3ex+1-3exex+1=3ex+1

      Pour tout réel x de l'intervalle 0+, Gx=gx alors G est une primitive de la fonction g sur cet intervalle.


    3. Calculer A.

      A=0ln2gxdx=[Gx]0ln2=[3x-3lnex+1]0ln2=3ln2-3lneln2+1-3×0-3lne0+1=3ln2-3ln3+3ln2=6ln2-3ln3

      A=0ln2gxdx=6ln2-3ln3.



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