Baccalauréat juin 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : asie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

L'espace est rapporté à un repère orthogonal.

On a représenté ci-dessous la surface (S) d'équation $z = 3 (x^{2} + y)$ , avec x appartenant à l'intervalle $[0; 1,5]$ et y appartenant à l'intervalle $[0; 1,5]$ .

partie A - exploitation du graphique :

On considère le plan (P) d'équation $z = 6$ .

Sur la figure donnée, placer le point A de coordonnées $(1; 1; 6)$ .
Surlignez en couleur la partie visible de l'intersection de la surface (S) et du plan (P) sur la figure donnée.

L'intersection de la surface (S) et du plan (P) d'équation $z = 6$ est la ligne de niveau de cote $z = 6$ . C'est la courbe de niveau surlignée en rouge.

PARTIE B - recherche d'un coût minimum :

Une entreprise fabrique des unités centrales pour ordinateurs dont les composants sont essentiellement des cartes mères et des microprocesseurs.
On appelle x le nombre (exprimé en milliers) de microprocesseurs produits chaque mois et y le nombre (exprimé en milliers) de cartes mères produites chaque mois.
Le coût mensuel de production, exprimé en milliers d'euros, est donné par : $C (x; y) = 3 (x^{2} + y)$ On se propose de trouver les quantités de microprocesseurs et de cartes mères que l'entreprise doit produire par mois pour minimiser ce coût.

La production mensuelle totale est de deux milliers de composants. On a donc $x + y = 2$ .

Exprimer $C (x; y)$ en fonction de la seule variable x.

Sous la contrainte de production $x + y = 2$ , le coût mensuel de production $C (x; y)$ a pour système d'équations ${\begin{array}{l} C (x; y) & = & 3 (x^{2} + y) \\ x + y & = & 2 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{aligned} C (x; y) & = & 3 (x^{2} + 2 - x) \\ y & = & 2 - x \end{aligned}$

Sous la contrainte de production $x + y = 2$ , le coût mensuel de production $C (x; y)$ exprimé en fonction de la seule variable x est $C (x; y) = 3 (x^{2} + 2 - x)$ .

On note f la fonction ainsi obtenue. Vérifier que $f (x) = 3 x^{2} - 3 x + 6$ .

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $[0; 1,5]$ par $f (x) = 3 (x^{2} + 2 - x)$ . Alors, $f (x) = 3 x^{2} - 3 x + 6$
Montrer que sur l'intervalle $[0; 1,5]$ , la fonction f admet un minimum atteint pour $x = 0,5$ .

La fonction f est la restriction sur l'intervalle $[0; 1,5]$ d'une fonction polynôme du second degré dont le coefficient du terme de plus haut degré est positif ( $a = 3$ ). Alors, f est minimale pour $x = - \frac{- 3}{2 \times 3} = 0,5$ .

Ainsi, la fonction f admet un minimum atteint pour $x = 0,5$ .
Quelles quantités de microprocesseurs et de cartes mères, l'entreprise doit elle produire chaque mois pour minimiser le coût mensuel de production ? Quel est ce coût ?

Sous la contrainte de production $x + y = 2$ , le coût mensuel de production $C (x; y)$ est minimal pour $x = 0,5$ . Donc $\begin{matrix} y = 1 - 0,5 = 1,5 & et & C (0,5; 1,5) = 3 ({0,5}^{2} + 1,5) = 5,25 \end{matrix}$

Pour minimiser le coût mensuel de production, l'entreprise doit produire chaque mois 500 microprocesseurs et 1500 cartes mères pour un coût minimal de 5250 euros.
Placer sur la figure donnée le point K correspondant au coût minimum.

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