sujet : Polynésie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des huit questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses est exacte. Indiquez sur votre copie le numéro de la question et recopiez la réponse exacte sans justifier votre choix.
Barème : À chaque question est attribué un certain nombre de points. Une réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points attribué. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.

On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left[-2;10\right]$ et la fonction composée $g=\ln \circ f$. Sur la figure ci-dessous, le plan est muni d'un repère orthonormal $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ})$
La courbe $C_f$ est la courbe représentative de f .
Les points $A\left(-1;0\right)$, $B\left(0;\mathrm{2,5}\right)$, $C\left(2;\mathrm{4,38}\right)$, $D\left(6;0\right)$, $E\left(8;-\mathrm{1,35}\right)$ et $F\left(10;0\right)$ sont des points de $C_f$.
La droite $𝒟$ est la tangente à $C_f$ au point B.
Les tangentes à $C_f$ aux points C et E sont parallèles à l'axe des abscisses.

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1. Quelle est la valeur de $f\prime \left(0\right)$ nombre dérivé de f en 0?

   Le nombre dérivé de f en 0 est égal au coefficient directeur de la tangente en B à la courbe $C_f$.

   Par lecture graphique, le coefficient directeur de la droite $𝒟$ est égal à 2. Donc $f\prime \left(0\right)=2$.

   a. $f\prime \left(0\right)=\mathrm{2,5}$ ;

   b. $f\prime \left(0\right)=2$

   c. $f\prime \left(0\right)=\mathrm{0,5}$.

2. Quel est l'ensemble S des solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$?

   La courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses en trois points $A\left(-1;0\right)$, $D\left(6;0\right)$ et $F\left(10;0\right)$. Donc l'équation $f\left(x\right)=0$ admet trois solutions.

   a. $S=\varnothing$ ;

   b. $S=\left\{-1;6;10\right\}$

   c. $S=\left\{2;8\right\}$.

3. À quel intervalle appartient le réel $I={\displaystyle {\int }_{-1}^{5}f\left(t\right)\mathrm{d}t}$ ?

   Sur l'intervalle $[-1;5]$ la fonction f est continue et positive alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire : Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
   Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

   Le réel $I={\displaystyle {\int }_{-1}^{5}f\left(t\right)\mathrm{d}t}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine hachuré compris entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=5$.

   Un encadrement assez grossier à l'aide dun rectangle et d'un triangle, permet d'éliminer les réponses a et b. En effet $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{6\times \mathrm{4,38}}{2}}<I<6\times \mathrm{4,5}& \text{soit}& \mathrm{13,14}<I<27\end{array}$$.

   a. $I\in \left[-1;5\right]$ ;

   b. $I\in \left[0;\mathrm{4,38}\right]$ ;

   c. $I\in \left[15;30\right]$.

4. Quel est l'ensemble de définition de la fonction g, noté $D_g$ ?

   La fonction ln est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$. Donc la fonction composée $g=\ln \circ f$ est définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[-2;10\right]$ tel que $f\left(x\right)>0$.

   a. $D_g=\left]-1;6\right[$

   b. $D_g=\left]0;10\right[$ ;

   c. $D_g=\left]-2;10\right[$.

5. Quelle est la valeur de $g\left(0\right)$ ?

   $$\begin{array}{lll}g\left(0\right)& =& \ln \left[f\left(0\right)\right]\\ & =& \ln \left(\mathrm{2,5}\right)\end{array}$$

   a. $g\left(0\right)=\mathrm{2,5}$ ;

   b. $g\left(0\right)=0$ ;

   c. $g\left(0\right)=\ln \left(\mathrm{2,5}\right)$.

6. Quelle est la valeur du coefficient directeur m de la tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse 0 ?

   le coefficient directeur m de la tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse 0 est égal au nombre dérivé $g\prime \left(0\right)$

   Or g est la composée de la fonction f suivie de la fonction ln, d'après le théorème sur la dérivée de ln u : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction $\ln \left(u\right)$ est dérivable sur I et sa dérivée est $\left(\ln u\right)\prime ={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-1;6\right[$, $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{f\prime \left(x\right)}{f\left(x\right)}}$ d'où $$g\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{f\prime \left(0\right)}{f\left(0\right)}}={\displaystyle \frac{2}{\mathrm{2,5}}}=\mathrm{0,8}$$

   a. $m=2$ ;

   b. $m={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ;

   c. $m=\mathrm{0,8}$.

7. Quel est l'ensemble S ' des solutions de l'équation $g\prime \left(x\right)=0$ ?

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-1;6\right[$, $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{f\prime \left(x\right)}{f\left(x\right)}}$. Donc les solutions de l'équation $g\prime \left(x\right)=0$ sont celles de l'équation $f\prime \left(x\right)=0$ sur l'intervalle $\left]-1;6\right[$.

   Les tangentes à $C_f$ aux points C et E sont parallèles à l'axe des abscisses. Or $x\in \left]-1;6\right[$, donc l'équation $g\prime \left(x\right)=0$ n'admet qu'une solution $x=2$.

   a. $S\prime =\varnothing$ ;

   b. $S\prime =\left\{-1;6;10\right\}$ ;

   c. $S\prime =\left\{2\right\}$.

8. Quelle est la limite de $g\left(x\right)$ quand x tend vers -1 ?

   $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=0^{+}$ et $\underset{X\to 0^{+}}{\lim }\ln \left(X\right)=-\infty$ donc $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\ln \left(f\left(x\right)\right)=-\infty$. Ainsi, $\underset{x\to -1}{\lim }g\left(x\right)=-\infty$.

   a. $\underset{x\to -1}{\lim }g\left(x\right)=0$ ;

   b. $\underset{x\to -1}{\lim }g\left(x\right)=-\infty$

   c. $\underset{x\to -1}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$.

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