sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des huit questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses est exacte. Indiquez sur votre copie le numéro de la question et recopiez la réponse exacte sans justifier votre choix.
Barème : À chaque question est attribué un certain nombre de points. Une réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points attribué. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.

On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left[-2;10\right]$ et la fonction composée $g=\ln \circ f$. Sur la figure ci-dessous, le plan est muni d'un repère orthonormal $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ})$
La courbe $C_f$ est la courbe représentative de f .
Les points $A\left(-1;0\right)$, $B\left(0;\mathrm{2,5}\right)$, $C\left(2;\mathrm{4,38}\right)$, $D\left(6;0\right)$, $E\left(8;-\mathrm{1,35}\right)$ et $F\left(10;0\right)$ sont des points de $C_f$.
La droite $𝒟$ est la tangente à $C_f$ au point B.
Les tangentes à $C_f$ aux points C et E sont parallèles à l'axe des abscisses.

1. Quelle est la valeur de $f\prime \left(0\right)$ nombre dérivé de f en 0 ?

   Le nombre dérivé de f en 0 est égal au coefficient directeur de la tangente en B à la courbe $C_f$.

   a. $f\prime \left(0\right)=\mathrm{2,5}$ ;

   b. $f\prime \left(0\right)=2$ ;

   c. $f\prime \left(0\right)=\mathrm{0,5}$.

2. Quel est l'ensemble S des solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$ ?

   a. $S=\varnothing$ ;

   b. $S=\left\{-1;6;10\right\}$ ;

   c. $S=\left\{2;8\right\}$.

3. À quel intervalle appartient le réel $I={\displaystyle {\int }_{-1}^{5}f\left(t\right)\mathrm{d}t}$ ?

   Sur l'intervalle $[-1;5]$, la fonction f est continue et positive alors, le réel $I={\displaystyle {\int }_{-1}^{5}f\left(t\right)\mathrm{d}t}$ est l'aire en unités d'aire de la partie du plan comprise entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=5$ .
   Essayez de trouver un encadrement de I à l'aide du quadrillage.

   a. $I\in \left[-1;5\right]$ ;

   b. $I\in \left[0;\mathrm{4,38}\right]$ ;

   c. $I\in \left[15;30\right]$.

4. Quel est l'ensemble de définition de la fonction g, noté $D_g$ ?

   La fonction composée $g=\ln \circ f$ est définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[-2;10\right]$ tel que $f\left(x\right)>0$.

   a. $D_g=\left]-1;6\right[$

   b. $D_g=\left]0;10\right[$ ;

   c. $D_g=\left]-2;10\right[$.

5. Quelle est la valeur de $g\left(0\right)$ ?

   a. $g\left(0\right)=\mathrm{2,5}$ ;

   b. $g\left(0\right)=0$ ;

   c. $g\left(0\right)=\ln \left(\mathrm{2,5}\right)$.

6. Quelle est la valeur du coefficient directeur m de la tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse 0 ?

   Théorème :

   Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction $\ln \left(u\right)$ est dérivable sur I et sa dérivée est $\left(\ln u\right)\prime ={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$.

   a. $m=2$ ;

   b. $m={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ;

   c. $m=\mathrm{0,8}$.

7. Quel est l'ensemble S ' des solutions de l'équation $g\prime \left(x\right)=0$ ?

   a. $S\prime =\varnothing$ ;

   b. $S\prime =\left\{-1;6;10\right\}$ ;

   c. $S\prime =\left\{2\right\}$.

8. Quelle est la limite de $g\left(x\right)$ quand x tend vers -1 ?

   Limite des fonctions compsées.

   a. $\underset{x\to -1}{\lim }g\left(x\right)=0$ ;

   b. $\underset{x\to -1}{\lim }g\left(x\right)=-\infty$ ;

   c. $\underset{x\to -1}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$.

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