sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une commune possède deux clubs de sport que l'on note A et B.
Le club A est installé depuis 1990, le club B a ouvert ses portes au cours de l'année 2004.
Au premier janvier 2005, on constate que 1 100 personnes sont abonnées au club A et 400 au club B.
Le prix de l'abonnement est moins coûteux au club A ; les activités proposées sont plus nombreuses au club B. Aussi, chaque année, 14% des abonnés au club A changent pour le club B et 6% des abonnés au club B changent pour le club A.
On suppose que la population totale des abonnés reste constante et qu'une personne ne s'abonne jamais aux deux clubs en même temps.
On note $a_n$ le nombre d'abonnés au club A et $b_n$ le nombre d'abonnés au club B au premier janvier de l'année 2005 + n.
$E_n$ désigne la matrice ligne $\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)$; ainsi $E_0$ désigne la matrice ligne $E_0=\left(\begin{array}{cc}{a}_0& b_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1100& 400\end{array}\right)$.

1. Traduire les données par un graphe probabiliste.

   Il s'agit de représenter à l'aide d'un graphe, l'évolution au cours du temps d'un système pouvant être dans l'état A ou l'état B.

   Chaque année, 14% des abonnés au club A changent pour le club B et 6% des abonnés au club B changent pour le club A donc :

   • La probabilité de passer de l'état A à l'état B est $p_A\left(B\right)=\mathrm{0,14}$ ; la probabilité de rester dans l'état A est donc $p_A\left(A\right)=1-\mathrm{0,14}=\mathrm{0,86}$.
   • La probabilité de passer de l'état B à l'état A est $p_B\left(A\right)=\mathrm{0,06}$ ; la probabilité de rester dans l'état B est donc $p_B\left(B\right)=1-\mathrm{0,06}=\mathrm{0,94}$.

   Le graphe probabiliste d'ordre 2 traduisant les données de l'énoncé est :

2. 1. Écrire la matrice de transition M telle que $E_{n+1}=E_n\times M$.
      En déduire $E_n$ en fonction de $E_0$, M et n. On ne demande pas de démontrer le résultat.

      La matrice de transition M de ce graphe est d'après la définition, Étant donné un graphe probabiliste d'ordre n dont les sommets sont numérotés de 1 à n, sa matrice de transition est la matrice carrée M d'ordre n dont le coefficient $a_{ij}$ a pour valeur le poids de l'arête allant du sommet i au sommet j si cette arête existe, 0 sinon.

      $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,86}& \mathrm{0,14}\\ \mathrm{0,06}& \mathrm{0,94}\end{array}\right)$.

      ---

      La matrice $E_n$ représentant l'état à l'étape n est d'après la propriété, Si M est la matrice de transition d'un graphe probabiliste à k sommets, si $P_0$ est la matrice ligne décrivant l'état initial, et $P_n$ l'état probabiliste à l'étape n alors, $P_n=P_0{M}^n$.

      $E_n=\left(\begin{array}{cc}1100& 400\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,86}& \mathrm{0,14}\\ \mathrm{0,06}& \mathrm{0,94}\end{array}\right)}^n$

      ---

   2. Calculer $M^2$. En déduire le nombre d'abonnés aux deux clubs au premier janvier 2007.

      $$\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,86}& \mathrm{0,14}\\ \mathrm{0,06}& \mathrm{0,94}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,86}& \mathrm{0,14}\\ \mathrm{0,06}& \mathrm{0,94}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rl}{\mathrm{0,86}}^2+\mathrm{0,14}\times \mathrm{0,06}& \mathrm{0,86}\times \mathrm{0,14}+\mathrm{0,14}\times \mathrm{0,94}\\ \mathrm{0,06}\times \mathrm{0,86}+\mathrm{0,94}\times \mathrm{0,06}& \mathrm{0,06}\times \mathrm{0,14}+{\mathrm{0,94}}^2\end{array}\right)$$

      Soit $M^2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,748}& \mathrm{0,252}\\ \mathrm{0,108}& \mathrm{0,892}\end{array}\right)$

      ---

      Au premier janvier 2007, la matrice représentant l'état à l'étape 2 est : $$\begin{array}{lll}{E}^2& =& \left(\begin{array}{cc}1100& 400\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,86}& \mathrm{0,14}\\ \mathrm{0,06}& \mathrm{0,94}\end{array}\right)}^2\\ & =& \left(\begin{array}{cc}1100& 400\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,748}& \mathrm{0,252}\\ \mathrm{0,108}& \mathrm{0,892}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}1100\times \mathrm{0,748}+400\times \mathrm{0,108}& 1100\times \mathrm{0,252}+400\times \mathrm{0,892}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}866& 634\end{array}\right)\end{array}$$

      Au premier janvier 2007, le club A aura 866 abonnés et le club B 644 abonnés.

      ---

3. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : $a_{n+1}=\mathrm{0,8}\times a_n+90$.

      La matrice représentant l'état à l'étape n + 1 est $E_{n+1}=E_n\times M$ d'où : $$\begin{array}{lll}\left(\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& b_{n+1}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,86}& \mathrm{0,14}\\ \mathrm{0,06}& \mathrm{0,94}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,86}{a}_n+\mathrm{0,06}{b}_n& \mathrm{0,14}{a}_n+\mathrm{0,94}{b}_n\end{array}\right)\end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, on a : $a_{n+1}=\mathrm{0,86}{a}_n+\mathrm{0,06}{b}_n$.

      Or la population totale des abonnés reste constante et une personne ne s'abonne jamais aux deux clubs en même temps d'où, $$\begin{array}{ccc}{a}_n+b_n=1500& \iff & b_n=1500-a_n\end{array}$$

      Donc pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{lll}{a}_{n+1}& =& \mathrm{0,86}{a}_n+\mathrm{0,06}\times \left(1500-a_n\right)\\ & =& \mathrm{0,8}{a}_n+90\end{array}$$

      Pour tout entier naturel n, on a $a_{n+1}=\mathrm{0,8}\times a_n+90$.

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   2. Pour n entier naturel, on pose : $u_n=a_n-450$. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique.

      Montrons qu'il existe un réel q tel que pour tout entier n, $u_{n+1}=q{u}_n$ . (Voir la définition d'une suite géométrique.) Dire qu'une suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=q\times u_n$.

      $$\begin{array}{lll}{u}_{n+1}& =& a_{n+1}-450\\ & =& \left(\mathrm{0,8}{a}_n+90\right)-450\\ & =& \mathrm{0,8}{a}_n-360\\ & =& \mathrm{0,8}\times \left(a_n-450\right)\\ & =& \mathrm{0,8}\times u_n\end{array}$$

      Pour tout entier n, $u_{n+1}=\mathrm{0,8}\times u_n$ alors, la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,8.

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   3. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : $a_n=650\times {\mathrm{0,8}}^n+450$.

      La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de terme initial $$\begin{array}{lll}{u}_0& =& a_0-450\\ & =& 1100-450\\ & =& 650\end{array}$$

      Alors, d'après la propriété des suites géométriques : Si ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison q, de premier terme $u_0$ alors, pour tout entier n : $$u_n=u_0\times q^n$$ et, plus généralement, pour tout entier $n⩾p$ : $u_n=u_p{u}^{n-p}$ avec $p\in \mathbb{N}$. $$u_n=650\times {\mathrm{0,8}}^n$$

      Donc $\begin{array}{ccc}{a}_n-450=650\times {\mathrm{0,8}}^n& \iff & a_n=650\times {\mathrm{0,8}}^n+450\end{array}$.

      Ainsi, pour tout entier naturel n, on a $a_n=650\times {\mathrm{0,8}}^n+450$.

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   4. Déterminer la limite de $a_n$ quand n tend vers $+\infty$. Interpréter ce résultat pour les deux clubs sportifs.

      $a_n=f\left(n\right)$ avec f fonction définie sur $[0;+\infty [$ par $f\left(x\right)=650\times {\mathrm{0,8}}^x+450$.

      Pour calculer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ , il suffit de déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction f.  (Voir le théorème) Soit f une fonction définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ et $\left(u_n\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n=f\left(n\right)$.
      Si la fonction f a une limite en $+\infty$, alors la suite $\left(u_n\right)$ a une limite et, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

      $0<\mathrm{0,8}<1$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,8}}^x=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }650\times {\mathrm{0,8}}^n+450=450$

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=450$ donc la suite $\left(a_n\right)$ converge vers 450.

      $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=450$ . À long terme, le nombre d'adhérents du club A se stabilisera à 450 membres et celui du club B à 1050.

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